hdu3507 print ariticle 斜率优化入门题

一个人要用n\((0\le n\le 500005)\)个单词打一篇文章。一个单词有一个价值\(C_i\)，一个文章可以分成若干段，每一段消耗价值\((\sum_{i=1}^kC_i)^2+M\)，其中M是常数。问如何安排单词打法，使得消耗的价值最小？

　　首先，dp方程是\(dp[i]=dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2\)。

　　但是，暴力转移是\(O(n^2)\)的。单调队列优化也用不了，因为dp方程内还有与i*j相关的项。咋办呢？当然是用斜率优化了！（什么鬼）

　　来转换一下dp方程。假设目前dp的是i，j，k是能转移到i的阶段。如果从j转移比从k更优，说明：\(dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2\)。

　　推一下式子，可以推成\(dp[i]-dp[k]+2sum[i]sum[k]-2sum[i]sum[j]+sum[j]^2-sum[k]^2<0\)。为了不改变不等式的符号，我们让\(sum[j]>sum[k]\)。那么把式子除上\(2(sum[j]-sum[k])\)，得到：\(\frac{dp[j]+sum[j]^2-(dp[k]+sum[k]^2)}{2(sum[j]-sum[k])}<sum[i]\)，拿x和y数组代一下，\(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]}<sum[i]\ \ \ (x[j]-x[k]>0)\)。

　　现在我们来边缘op。首先，x[j]和y[j]都只和j本身有关，与转移无关。\(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]}<sum[i]\)中，我们发现只有sum[i]和i有关。我们成功分离出了与i有关的项！同时\(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]}\)很像斜率的表示，所以试着把所有\((x[j], y[j])\)画到坐标系上：

　　对于一个点，它左上角的所有点，无论如何都会比它劣（边的斜率为负），同理，在它右下角的所有点，无论如何都会比它优。其它位置的点则不一定。因此，只有半下凸包上的点有可能是最优点。

　　所以在转移过程中，我们要动态维护一个下凸包。每次决策的时候，在凸包上面二分就行了。

　　但是！这道题很神奇。它满足决策单调性，并且新加入的点一定在所有点的右边。所以你既不用动态维护下凸包，也不用在凸包上面二分。用单调队列就行啦！

　　看似这道题做完了，然而还有个坑点：\(c_i\)可能是0…这说明可能有多个点的x下标相同，甚至有可能多个点重合！当有多个点的x下标相同时，\(x[j]-x[k]=0\)，也就是说如果你算斜率会被零除，然后光荣RE。所以计算斜率应该乘出来，避免这种情况。而当有多个点重合时，\(y[j]-y[k]=0<sum[i]\)，也就是队列不会往前推。然而重合点不一定是最好的。所以在写程序的时候应该是小于等于。记住开始的式子\(dp[i]=dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2\)，斜率式是我们推出来的，只不过方便计算，还有一些情况被漏掉了！

#include <cstdio>
using namespace std;const int maxn=5e5+5;
int n, m, h, t, sum[maxn];
int dp[maxn], x[maxn], y[maxn], q[maxn];
inline int sqr(int x){ return x*x; }int main(){while (~scanf("%d%d", &n, &m)){for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &sum[i]);for (int i=2; i<=n; ++i) sum[i]+=sum[i-1];sum[0]=h=t=dp[0]=x[0]=y[0]=0;for (int i=1; i<=n; ++i){while (h<t&&y[q[h+1]]-y[q[h]]<=sum[i]*(x[q[h+1]]-x[q[h]])) ++h;dp[i]=dp[q[h]]+m+sqr(sum[i]-sum[q[h]]);x[i]=2*sum[i], y[i]=dp[i]+sqr(sum[i]);while (h<t&&(y[i]-y[q[t]])*(x[q[t]]-x[q[t-1]])<=(y[q[t]]-y[q[t-1]])*(x[i]-x[q[t]])) --t;q[++t]=i;}printf("%d\n", dp[n]);}return 0;
}

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