字符串匹配（一）—

目的：判断目标串（T串）中是否含有模式串（P串）。

失配

T t₀ t₁ t₂ …… t_k t_k+1
P p₀ p₁ p₂ …… p_k
由于字符串T和P第一个不相等的字符出现在位置k，所以两字符前k个字符是相等的，也说明两串在位置k处失配。

失效函数

定义：记录字符串P中各个字符之间关系的函数。

定义域：自变量 j 的取值范围是P在“失配”前匹配的字符个数，定义域为0~len（P）-1（len（P）为P的字符串长度）。
例如：P = caatcat，失效函数的定义域为 j ∈ {0，1，2，3，4，5，6}。

值域：k ∈ {x | 0 ≤ x ＜j }，且k为满足**p₀p₁…p_k = p_j-kp_j-k+1…p_j**的最大正整数。
若k不存在，则失效函数的取值为-1。

例：以 P = caatcat 的失效函数为例作表。
j = 0：0 ≤ k＜0，k不存在，f（0） = -1；
j = 1：0 ≤ k＜1，k = 0， p₀ ≠ p₁（‘c’ ≠ ‘a’），k不满足条件故不存在，f（1） = -1；
j = 2：k = 0、1，p₀ ≠ p₂且p₀ p₁ ≠ p₁p₂，k不满足条件故不存在，f（2） = -1；
j = 3：k = 0、1、2，p₀ ≠ p₃且p₀ p₁ ≠ p₂p₃且p₀ p₁p₂ ≠ p₁p₂p₃，k不满足条件故不存在，f（3） = -1；
j = 4：k = 0、1、2、3，p₀ ＝ p₄且p₀ p₁ ≠ p₃p₄且p₀ p₁p₂ ≠ p₂p₃p₄且p₀ p₁p₂p₃ ≠ p₁p₂p₃p₄，k=0满足条件，f（4） = 0；
j = 5：k = 0、1、2、3、4，p₀ ≠ p₅且p₀ p₁ = p₄p₅且p₀p₁p₂≠ p₃p₄p₅且p₀p₁p₂p₃≠ p₂p₃p₄p₅以及p₀p₁p₂p₃p₄ ≠ p₁p₂p₃p₄p₅，k = 1满足条件，f（5） = 1；
同理可求f（6） = -1；
失效函数：

j	0	1	2	3	4	5	6	7
p（j）	c	a	a	t	c	a	t
f （j）	-1	-1	-1	-1	0	1	-1
mpNext[j] / f(j-1)+1	-1	0	0	0	0	1	2	0

失配函数 f (j) 仅与模式P有关，与目标T无关，所以只要是同一个P，失效函数就适用。

MP匹配

长串在短串某个字符匹配成功时向前移动一个位置

失配情况发生在模式P的第j位: j = 0：让目标T的指针前进一位，模式P的起始比较地址为p₀; j ≠ 0：目标T的指针不发生回溯，仍指向失配的位置，模式P的起始比较地址为p_f（j-1）+1

mp算法是时间复杂度为O(m+n)¹

MP模板

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
void preMP(const char* x, int m, int mpNext[]) {int i, j;i = 0;j = mpNext[0] = -1;while (i < m) {while (j > -1 && x[i] != x[j])j = mpNext[j];mpNext[++i] = ++j;//mpNext(j)=f(j-1)+1}
}
void MP(string p, string t) {int m = p.length();int n = t.length();//模式串长度大于目标串即找不到 if (m > n) {cout << "unsuccessful match!" << endl;return;}/*c_str()用法：将string转换为c的字符串类型 详解：https://blog.csdn.net/qq_29493173/article/details/100043142  */ const char* x = p.c_str();const char* y = t.c_str();//i是模式串P的指针位置 j是目标串T的指针位置 int i = 0, j = 0;/*mpNext[]存储的是失配发生时，下一轮P的起始比较地址;因为存储的是P，数组大小比P长度略大即可*/int mpNext[m+1];//为mpNext[]赋值 preMP(x, m, mpNext);//T的指针没到末尾就一直寻找 while (j < n) {//指针指向位置的元素不同，且不为P首元素，P的指针将指向下一个索引位置 while (i > -1 && x[i] != y[j])i = mpNext[i];//若两指针指向元素相同，一齐往后移动1i++;j++;//找到完整P串输出index if (i >= m) {cout << "index at:" << j-i << endl;i = mpNext[i];//可继续找下一个P串的index } }
}
int main() {fiostring t = "ctcaatcacaatcat";string p = "caatcat";MP(p, t);
}

KMP

KMP算法与MP非常相像，用kmpNext[ ]表对P中符合要求的加标边际进行标识。

u表示P、T匹配相同的一段子串，v表示失配移动后匹配到子串u的某一部分后缀，i处的“a”与j+i处的“b”失配。

符合要求：（简单来说就是对MP的移动进一步筛选处理）
①偏移后的v是可以匹配到u中某个后缀的一个最长前缀。
②v后面的字符c和u后面的字符a不同（因为a与b失配）

kmpNext表的建立可以在mpNext表的基础之上，分为四种情况，其中1 ≤ j ≤ m-1：

如果mpNext[j] = 0 且 p_j = p₀，则令kmpNext[j] = -1；
如果mpNext[j] = 0 且 p_j ≠ p₀，则令kmpNext[j] = 0；
如果mpNext[j] ≠ 0 且 p_j ≠ p_mpNext[j]，则令kmpNext[j] = mpNext[j]；
如果mpNext[j] ≠ 0 且 p_j = p_mpNext[j]，则令 j 替换成mpNext[j]，直到情况转换为前三种，进而递归求解kmpNext[j]；

仍以caatcat为例求出kmpNext表：

j	0	1	2	3	4	5	6	7
p（j）	c	a	a	t	c	a	t
mpNext[j]	-1	0	0	0	0	1	2	0
kmpNext[j]	-1	0	0	0	-1	0	2	0

KMP模板

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
void  preKMP(const char* x, int m, int kmpNext[]) {int i = 0, j;j = kmpNext[0] = -1;while (i < m) {while (j > -1 && x[i] != x[j])j = kmpNext[j];i++;j++;/*与mp不同的地方*/if (x[i] == x[j])kmpNext[i] = kmpNext[j];else kmpNext[i] = j; }
}
void kmp(string p, string t) {int n = t.length();int m = p.length();if (m > n) {cout << "find unsuccesfully"<< endl;return;}//i短串，j长串 int i = 0, j = 0, kmpNext[m+1];const char* x = p.c_str();const char* y = t.c_str();preKMP(x, m, kmpNext);while (j < n) {while (i > -1 && x[i] != y[j])i = kmpNext[i];i++;j++;if (i >= m) {cout << "index at:" << j-i << endl;i = kmpNext[i];}}
}
int main() {fiostring t = "ctcaatcacaatcat";string p = "caatcat";kmp(p, t);
}

P字符串的长度为m，T字符串长度为n ↩︎