13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 $4$ 个实正交矩阵的线性组合, 即若 $A$ 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 $Q_i$ 和实数 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使得 $$\bex A=r_1Q_1+r_2Q_2+r_3Q_3+r_4Q_4. \eex$$

证明: (1). 先证明: $A$ 的谱范数就是 $A$ 的最大奇异值. 事实上, $$\beex \bea \sen{A}_\infty^2 &=\max_{\sen{x}_2=1}\sen{Ax}_2^2\\ &=\max_{\sen{x}_2=1}x^*A^*Ax\\ &=\max_{\sen{x}_2=1}x^*VV^*A^*U^*UAVV^*x\\ &=\max_{\sen{y}_2=1}y^*\diag(s_1^2,\cdots,s_p^2)y\quad\sex{y=V^*x}\\ &=\max_{\sen{y}_2=1}\sum_{i=1}^p s_i^2|y_i|^2\\ &=s_1^2. \eea \eeex$$ (2). 由奇异值分解, 存在酉阵 $U,V$ 使得 $$\bex \frac{1}{\sen{A}_\infty}UAV =\diag(s_1,\cdots,s_n),\quad 1=s_1\geq s_2\geq \cdots\geq s_n\geq 0. \eex$$ 若 $n=2k$, 则正交阵 $$\bex R=\frac{1}{\sqrt{2}}\sex{\ba{cc} -1&1\\ 1&1 \ea} \eex$$ 使得 $$\bex R^T\sex{\ba{cc} s_{2j-1}&0\\ 0&s_{2j} \ea}R=\sex{\ba{cc} b_j&c_j\\ c_j&b_j \ea},\quad 2b_j=s_{2j-1}+s_{2j},\quad 2c_j=s_{2j}-s_{2j-1}. \eex$$ 如此, $$\beex \bea &\quad \diag(R,\cdots,R)^T \diag(s_1,\cdots,s_n) \diag(R,\cdots,R)\\ &=\diag\sex{ \sex{\ba{cc} b_1&c_1\\ c_1&b_1 \ea},\cdots,\sex{\ba{cc} b_k&c_k\\ c_k&b_k \ea}}\\ &=\frac{1}{2} \diag\sex{ \sex{\ba{cc} b_1&\sqrt{1-b_1}\\ -\sqrt{1-b_1}&b_1 \ea},\cdots,\sex{\ba{cc} b_k&\sqrt{1-b_k}\\ -\sqrt{1-b_k}&b_k \ea}}\\ &\quad+\frac{1}{2} \diag\sex{ \sex{\ba{cc} b_1&-\sqrt{1-b_1}\\ \sqrt{1-b_1}&b_1 \ea},\cdots,\sex{\ba{cc} b_k&-\sqrt{1-b_k}\\ \sqrt{1-b_k}&b_k \ea}}\\ &\quad+\frac{1}{2} \diag\sex{ \sex{\ba{cc} \sqrt{1-c_1}&c_1\\ c_1&-\sqrt{1-c_1} \ea},\cdots,\sex{\ba{cc} \sqrt{1-c_k}&c_k\\ c_k&-\sqrt{1-c_k} \ea} }\\ &\quad+\frac{1}{2} \diag\sex{ \sex{\ba{cc} -\sqrt{1-c_1}&c_1\\ c_1&\sqrt{1-c_1} \ea},\cdots,\sex{\ba{cc} -\sqrt{1-c_k}&c_k\\ c_k&\sqrt{1-c_k} \ea} }. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex \frac{2}{\sen{A}_\infty}\diag(R,\cdots,R)^T UAV\diag(R,\cdots,R) \eex$$ 是 $4$ 个实正交阵的和, 而有结论. 若 $n=2k+1$, 则由已证, $$\bex \diag(1,R,\cdots,R)^T \diag(1,s_2,\cdots,s_n) \diag(1,R,\cdots,R) \eex$$ 也是 $4$ 个实正交阵的和的一半. 我们也有结论成立.