[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.7
7. 设 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 则 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_{U^*U=I_k} \det U^*AU, \eex$$ 其中 $U\in M_{n,k}$.
证明: 对 $U\in M_{n,k}$, $U^*U=I_k$, 将 $U$ 的列扩充为酉阵 $W=(U,V)$, 则 $$\bex W^*AW=\sex{U^*\atop V^*}A(U,V) =\sex{\ba{cc} U^*AU&U^*AV\\ V^*AU&V^*AV \ea}. \eex$$ 于是由 Cauchy 分离定理及 $A$ 正定知 $$\beex \bea \det U^*AU &=\prod_{j=1}^k \lm_j(U^*AU)\\ &\in \sez{ \prod_{j=1}^k \lm_{j+n-k}(W^*AW),\prod_{j=1}^k \lm_j(W^*AW)}\\ &=\sez{ \prod_{j=1}^k \lm_{j+n-k}(A),\prod_{j=1}^k \lm_j(A)}\\ &=\sez{\prod_{l=1}^k \lm_{n-l+1}(A),\prod_{j=1}^k \lm_j(A)}\quad (k+1-j=l). \eea \eeex$$ 又 $A$ 正定, 而存在酉阵 $W$ 使得 $$\bex W^*AW=\diag(\lm_1(A),\cdots,\lm_n(A)). \eex$$ 取 $U$ 为 $W$ 的前 $k$ 列, 则 $$\bex U^*AU=\prod_{j=1}^k \lm_j(A); \eex$$ 取 $U$ 为 $W$ 的后 $k$ 列, 则 $$\bex U^*AU=\prod_{j=1}^k \lm_{n-j+1}(A). \eex$$
[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.7相关推荐
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6
6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 P ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6
6. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\qua ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1
1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明: (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^ ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.3
3. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 是 $M_n$ 上的一个范数. 证明: (1). $$\beex \bea w(A)&\geq 0;\\ w(A)=0&\ra x^*Ax=0 ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.13
13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 $4$ 个实正交矩阵的线性组合, 即若 $A$ 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 $Q_i$ 和实数 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使 ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.10
10. 矩阵 $A=(a_{ij})\in M_n$ 称为严格对角占优, 如果 $$\bex |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad i=1,\cdots,n ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.11
11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 $\sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})\in M_n$ 的特征值的集合, 记 $$\bex D_i=\sed{z\in\bbC;\ |z-a ...
- [詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13
13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任 ...
- 微型计算机原理及应用李干林,微机原理及接口技术李干林习题参考解答-20210415154329.docx-原创力文档...
Document serial number[NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108] Document serial number[NL89WT-NY98YT-NC8CB- ...
最新文章
- 编程面试中的十个常见错误
- 大道至简阅读笔记02
- 不要轻易碰我,不然我就知道你有多软了 | Science Robotics
- java2048设计说明,Html5中的本地存储设计理念
- 菜鸟又出手!家里没人也能收包裹,这个黑科技还获过阿里内部大奖
- 【关键词排名点击软件】网站关键词挖掘常用的五个工具
- forEach 终止循环
- 焦点科技股份有限公司--软件测试--《社招、校招jd、公司介绍、培训发展、薪酬福利、公益慈善》整理
- Java高并发系列---第1天(概念)
- Jupyter notebook中的Markdown单元格(4)图片
- Java实现 LeetCode 718 最长重复子数组(动态规划)
- Android学习笔记三
- Android APP分享功能实现
- Win10 如何禁用BitLocker加密cmd命令
- XNA学习笔记(5)-调节刷新率(framerate)
- 《裸辞的程序猿漂流记十三》——奔跑在逆袭的路上
- 如何在现实场景中随心放置AR虚拟对象?
- 鸿蒙系统的知识,手机知识:怎么更新鸿蒙系统
- 试用版Platform Builder 6.0到期后的解决办法
- DNSPod十问任可:抑郁症赛道的神奇女侠