小波变换（wavelet transform）的通俗解释（二）

相信大家都看过油画。对于特别巨幅的油画，不知道有没有过体会，油画是只可远观而不可亵玩？当你在足够远的距离观察油画时，油画所表达的内容是有层次且内容丰富的，但是当你靠近油画甚至贴在油画上看时，你只能看到一个个的小色块，而此时这些小色块此时变成毫无意义的无规则排列。我们假设油画中的每个小色块都对应某一信号中的某个瞬时时间，那么无数个小色块就拼凑成了整幅画，相当于无数个瞬时时间片段组成了整个信号。那么，当我们想看看在这个信号的某个时间发生了什么的时候，我们不得不试图靠近这幅画。

假设一个信号所包含的全部频率信息包含在一副无边无际的油画之中，辣么，当你和油画的距离为无穷远的时候你能够毫不费力的看清楚这幅画的全貌，（相当于傅立叶变换，可获得此信号的全部频率信息），但是你却无法看清楚这幅画的细节（无法得知此信号在某个时刻的瞬时频率）。当你慢慢走向这幅画的时候（给傅立叶变换加窗），你走得越近（窗长越短），细节越清楚（信号的时间分辨率越来越高），也就是每个小色块都越来越清晰，但每个色块所包含的信息量（频率信息）也越来越少，这就是著名的海森堡测不准原理（你永远无法得知一个信号之中任一时刻的准确频率信息，即瞬时频率），也就是说你永远不可能在距离油画0 cm的位置观测出油画所画的内容。

如果，以上我的假设你都认同的话，辣么加窗傅立叶变换相当于你选择了一个固定的距离观察这幅油画，当距离近时（窗长减少），油画的细节更加清楚，但是油画所表达的信息量随之减少。
这时候就有人提出来了，这个问题还不容易吗？油画在有的地方细节多，我们就离近一点看嘛（增大变换尺度，增加时间分辨率）；有的地方细节少，我们就离得稍微远一点看嘛（减小变化尺度，缩减时间分辨率），这样，在细节和内容的信息量上都能兼顾，能够更全面的欣赏这幅油画，这就是所谓的小波变换啦！其实这个原理非常简单，题主可以想象我们看一副大型油画时，通常都是先离远点看看全貌，然而对于一些细节丰富的地方，我们会走近观察。

最后总结：傅立叶变换就相当于：你只能在远距离观察油画；加窗傅立叶变换相当于：你只能在固定的距离观察油画；而小波变换相当于，你可以在任意的距离观察油画。

作者：兔宝
转载自：https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/136518602
来源：知乎

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