NYOJ_1013除法表达式

大体描述：

给出一个除法表达式：X1/X2/X3/…/Xk，其中Xi为正整数。除法表达式应当按照从左到右的顺序求和，例如，表达式1/2/1/2的值为1/4。但是可以在表达式中嵌入括号改变计算顺序，例如，表达式（1/2）/（1/2）的值为1.

输入X1，X2…，Xk，判断是否可以通过添加括号，使表达式的值为整数。K<=10000,Xi<=10^9；

可以分析出来我们只需要判断X1*X3…Xk/X2是否为整数即可。

一：高精度运算，

由题目所给的范围可以知道，必须利用高精度才能存储X1…Xk的乘积，所以只需要用高精度运算进行K-2次乘法和1次除法即可。

此方法有点麻烦，只做分析

二：唯一分解定理

分析：由唯一分解定理，X2=P1^A1*P2^A2…P2*An，（其中Pi为质数）

所以利用唯一分解定理，我们就只需要依次判断Pi的指数Ai是否不大于X1*X3…Xk里面Pi的指数ai即可。

给出AC代码如下：


#include <iostream>
#include <cstring>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int item[10005];
int nums[100][2];//long long 类型的数据分解为质数相乘不超过16位
int ptot[100];void solve(int num1)
{memset(ptot,0,sizeof(ptot));int num2=nums[0][0];int i,j;for(i=1;i<=num2;i++){int p=nums[i][0];for(j=1;j<=num1;j++){int q=item[j];if(j==2) continue;while(q%p==0){q/=p;ptot[i]++;}}if(ptot[i]<nums[i][1]){cout<<"NO"<<endl; return;}}cout<<"YES"<<endl;}
void depart(int m)//分解m{int&num = nums[0][0]=0;//nums[0][0]是表头，存放总的个数，用引用比较方便num = 0;for (int i = 2; i*i <= m;i++)if (m%i == 0){nums[++num][0] = i;nums[num][1] = 0;do{nums[num][1]++;m /= i;} while (m%i == 0);//将i除干净}if (m > 1)//如果分解到最后m仍然大于1,说明它是一个素数。注意：如果只是判断素因子有哪些，可以没有此处判断，否则必须有此步{nums[++num][0] = m;nums[num][1] = 1;}}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){char c;int i;for(i=1;;i++)//输入除法表达式{scanf("%d",&item[i]);c=getchar();if(c=='\n') break;}if(i==1) cout<<"YES"<<endl;else{depart(item[2]);solve(i);}}return 0;
}

三：欧几里得算法

分析：我们可以直接约分，依次将X1，X3，…Xk与X2约去它们的最大公约数，如果最后X2为1，则说明可以，反之不行

给出AC代码：


#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int K=10005;
int num[K];int gcd(int a, int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
bool solve(int s)
{num[2]/=gcd(num[1],num[2]);if(num[2]==1) return true;for(int i=3;i<=s;i++){num[2]/=gcd(num[2],num[i]);if(num[2]==1) return true;}return false;
}int main()
{int n;cin>>n;while(n--){char c;int i;for(i=1;;i++)//除法表达式的输入{scanf("%d",&num[i]);c=getchar();if(c=='\n') break;}if(i==1) cout<<"YES"<<endl;else {if(solve(i)) cout<<"YES"<<endl;else cout<<"NO"<<endl;}}return 0;
}

注：以上方法参考刘汝佳老师的《算法竞赛入门经典》，

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