[数据结构]快速排序

一、问题描述

内部排序是一件具有重大意义的问题，许多项目的实现中都需要用到排序。

我们知道，排序的算法有许多种，每种排序算法的时间复杂度和空间复杂度不尽相同。在解决实际问题时，往往需要根据实际需要选择排序算法。

上次实验已经讨论了希尔排序的实现及其原理，本实验重点介绍另一种排序算法——快速排序。实验中将讨论快速排序的实现及其原理。

二、数据结构——顺序结构

本实验重点在算法实现上，数据结构的思想被弱化了。在排序过程中，由于维护序关系的需要，要有交换的操作，这就破坏了ADT的物理位置的相邻反映逻辑的依次的性质，可以说这里的顺序结构只是一个二次结构。因此，本实验不对此作过多说明。

三、算法的设计和实现

1、算法描述

快速排序是一种基于比较的排序算法，算法是不稳定的。有一种形象的叫法是“挖坑+分治”排序来形容快速排序。以下简要说明其操作。

以不降序排序为例。选择序列中一个元素作为基准元素，本实验中选择的是序列区间的第一个元素。定义两个指针（这里的指针只是一个意指，不一定用c++语言中真正的指针来实现，可以是一个整型数）i和j，初始时分别指向待排序列区间的首、尾。

每一轮排序时，选择第一个元素作为基准元素，相当于在序列区间的第一个位置挖了一个坑，现在要填坑。移动j，直到Elem[j]比基准元素小，将Elem[j]挖出来填到第一个位置，这时坑就是j这个位置了；移动i，知道Elem[i]比基准元素大，将Elem[i]挖出来填到j位置，这时坑就是i这个位置了。重复上述挖坑、填坑的操作，直到i == j，结束循环。此时，将基准元素填入当前的坑里，于是在该基准元素的左侧的元素都比它小，右侧的都比它大。这时就出现了一个自相似的子结构，于是很自然地选择递归，将当前的待排序序列区间以基准元素的位置一分为二，分别重复上述过程。递归的边界是当前区间只有一个元素，平凡有序。

所谓“挖坑”上面已经提到了，所谓“分治”就是指的区间一分为二的递归过程。

2、算法复杂度分析

快速排序的时间主要耗费在划分操作上，设当前待排序区间长度为k，则共需要k-1次关键字的比较。

最坏情况是每次划分选取的基准元素都是当前区间的最小（或者最大）元素，那么划分的结果将是左边的子区间（或者右边的子区间）为空，而右边的子区间（或者左边的子区间）长度为k-1，仅比之前少一个元素。此时的时间复杂度为O(n^2)。

最好情况是每次划分选取的基准元素都正好是当前区间的中位数，划分的结果是左、右子区间元素个数大致相等，总的复杂度为O(n lgn)。

尽管快速排序的最坏情况复杂度逼近平方级别，但就平均性能而言，它是基于关键字比较的内部排序算法中速度最快的（这个网上有许多算法的时间测试，这里不再赘述），它的平均时间复杂度为O(n lgn)。

3、例子

（1）第一轮

基准元素下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
72	72	6	57	88	60	42	83	73	48	85
	48	6	57	88	60	42	83	73	48	85
	48	6	57	88	60	42	83	73	88	85
	48	6	57	42	60	42	83	73	88	85
	48	6	57	42	60	72	83	73	88	85

（2）第二轮

a)区间[1,5]

基准元素下标	1	2	3	4	5
48	48	6	57	42	60
	42	6	57	42	60
	42	6	57	57	60
	42	6	48	57	60

b)区间[7,10]

基准元素下标	7	8	9	10
83	83	73	88	85
	73	73	88	85
	73	83	88	85

c)总的序列

（3）第三轮

a)区间[1,2]

基准元素下标	1	2
42	42	6
	6	6
	6	42

b)区间[4,5]

基准元素下标	4	5
57	57	60
	57	60

c)区间[7,7]，直接返回

d)区间[9,10]

基准元素下标	9	10
88	88	85
	85	85
	85	88

e)总的序列

排序完成

四、预期结果和实验中的问题

1、预期结果

程序能够正确地将一个序列按照不递减的顺序排序。下图为一个例子。

2、实验中的问题及思考

快速排序还有一些改进的版本，当然比较常见的是在选择基准元素的时候采用随机选择的方式。据研究表明，选择黄金分割点处的数作为基准元素的期望速度最快，这个我还没有仔细学习过。

附：c++源代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4
 5 using namespace std;
 6 #define MaxN 120
 7
 8 int gap[200]; //步长 2^k+1 第一项改为1
 9 int n;
10
11 template <class T> class My_list
12 {
13 private:
14     T Elem[MaxN]; //待排序的元素
15     int Len; //元素个数
16 public:
17     void Init()
18     {
19         memset(Elem, 0, sizeof(Elem));
20         Len = 0;
21     }
22     void Insert_back(T x)
23     {
24         Elem[++Len] = x;
25     }
26     void Print()
27     {
28         int i;
29         for(i = 1; i < Len; i++)
30             printf("%d ", Elem[i]);
31         printf("%d\n", Elem[i]);
32     }
33     int GetLen()
34     {
35         return Len;
36     }
37     void QuickSort(int st, int ed)
38     {
39         if(st < ed)
40         {
41             int i = st, j = ed, x = Elem[st];
42             while(i < j)
43             {
44                 while(i < j && Elem[j] > x) //找右侧比x大的元素
45                     j--;
46                 if(i < j)
47                     Elem[i++] = Elem[j];
48                 while(i < j && Elem[i] < x) //找左侧比x小的元素
49                     i++;
50                 if(i < j)
51                     Elem[j--] = Elem[i];
52             }
53             Elem[i] = x;
54             QuickSort(st, i - 1); //分治左侧区间
55             QuickSort(i + 1, ed); //分治右侧区间
56         } //if
57     }
58 };
59
60 void Read(My_list <int> &L)
61 {
62     int i, x;
63     L.Init();
64     printf("请输入需要排序的数的个数。\n");
65     scanf("%d", &n);
66     printf("请输入需要排序的数列。\n");
67     for(i = 1; i <= n; i++)
68     {
69         scanf("%d", &x);
70         L.Insert_back(x); //把x插入到最后
71     }
72 }
73
74 int main()
75 {
76     int GapNum;
77     My_list <int> L;
78     Read(L);
79     L.QuickSort(1, n);
80     printf("升序排序后的数列：\n");
81     L.Print();
82     return 0;
83 }

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