POJ - 3565 Ants(二分图最小权匹配+KM+思维)

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题目大意：给出n个蚂蚁和n个苹果树的坐标，我们需要求出每个蚂蚁平时觅食所要去的苹果树，必须保证所有路径不能有交叉

题目分析：因为所有的边不能有交叉，所以我们选择距离最短的两个点匹配即可，然后n个蚂蚁匹配n个苹果树，又是一个完备匹配问题，那么这个题目就转换成了一个最小权匹配的问题了，直接套模板就行了吗？不，其实还有个很严谨的证明，一开始我是为了省精度，用了距离的平方建边，一直WA，后来改成double类型的距离建边，也就是开了个sqrt然后就A了，一直想不明白为什么，看了大佬的证明后就突然有点小理解了：

这道题能用KM在于四边形不等式的几何形式dist (A,B)+dist(C,D)>dist(A,C)+dist(B,D)，其中ABCD是四边形，证明利用对角线交点O与AB，CD两条边构成的三角形不等式证明，即OA+OB>AB，OC+OD>CD,两式相加得到AC+BD>AB+CD，对于平方，没有三角形不等式，事实上可以构造使AB*AB+CD*CD=AC*AC+BD*BD

大概就是这样，求边权的时候需要用实际距离，然后因为涉及到了double类型，就要开一个eps保持精度，1e-6足够

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const double inf=1e10;const double eps=1e-6;const int N=110;int n;struct Pos
{int x,y;
}ant[N],tree[N];double dis(Pos& a,Pos& b)
{return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}double la[N],lb[N];//顶标bool visa[N],visb[N];//访问标记double maze[N][N];//边权int match[N];//右部点匹配了哪一个左部点double upd[N];bool dfs(int x)
{visa[x]=true;//访问标记：x在交错树中for(int i=1;i<=n;i++){if(!visb[i]){if(la[x]+lb[i]-maze[x][i]<eps)//相等子图{visb[i]=true;//访问标记：y在交错树中if(!match[i]||dfs(match[i])){match[i]=x;return true;}}elseupd[i]=min(upd[i],la[x]+lb[i]-maze[x][i]);}}return false;
} int KM()
{memset(match,0,sizeof(match));for(int i=1;i<=n;i++){la[i]=-inf;lb[i]=0;for(int j=1;j<=n;j++)la[i]=max(la[i],maze[i][j]);}for(int i=1;i<=n;i++){while(1)//直到左部点找到匹配{memset(visa,false,sizeof(visa));memset(visb,false,sizeof(visb));for(int i=1;i<=n;i++)upd[i]=inf;if(dfs(i))break;double delta=inf;for(int j=1;j<=n;j++)if(!visb[j])delta=min(delta,upd[j]);for(int j=1;j<=n;j++)//修改顶标{if(visa[j])la[j]-=delta;if(visb[j])lb[j]+=delta;}}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=maze[match[i]][i];return ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&ant[i].x,&ant[i].y);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&tree[i].x,&tree[i].y);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)maze[i][j]=-dis(tree[i],ant[j]);KM();for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",match[i]);} return 0;
}

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