题目大意：在二维平面中给出 n 个点，再给出一个固定大小的圆，问如何放置这个圆可以使其覆盖最多的点

题目分析：首先不难想到一种 n^3 的做法，就是两层循环去枚举两个点，因为两个不同的点就可以确定下来两个圆了（对称的），然后对于这 2 * n * n 个圆的每一个来说，再用一层循环去枚举 n 个点，计算一下有多少个点可以被覆盖到就可以了

考虑优化，假如分别以点 i 和点 j 为圆心，以 r 为半径做出两个相交的圆，比较显然的是，如果在相交的阴影部分中任选一点作为圆心，同样以 r 作为半径做圆，那么点 i 和点 j 都可以同时被覆盖到，如下图所示：

所以我们不妨映射到其中一个圆的弧上，称这一段为相交弧，这样一来此题就得以优化了：

先用一层循环去固定点 i 作为圆心，然后枚举点 j 同样也作为圆心，两个圆若能相交的话求出相交弧，最多有 n 段相交弧，对于以点 i 为圆心的圆周来说，其中某个点被覆盖的次数，就是以该点为圆心所能覆盖的点数，所以求出被覆盖最多的位置即可

如何去求这个位置呢？利用差分的思想，对 n 段相交弧，也就是 2 * n 个交点进行极角排序，然后扫一遍求最大连续子段和就是答案了，时间复杂度为 n^2logn

很让人烦心的一点是，这个题目用 atan2 的极角排序很轻松 AC，但用叉积排序总是多多少少会出现一些不可描述的问题，一直卡在 97 分的位置，纠结三天了，没精力再耗下去了。。就这样随缘吧

代码：

n^3

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;
// `计算几何模板`
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int maxp = 1010;
//`Compares a double to zero`
int sgn(double x){if(fabs(x) < eps)return 0;if(x < 0)return -1;else return 1;
}
struct Point{double x,y;Point(){}Point(double _x,double _y){x = _x;y = _y;}void input(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}void output(){printf("%.2f %.2f\n",x,y);}bool operator == (Point b)const{return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;}bool operator < (Point b)const{return sgn(x-b.x)== 0?sgn(y-b.y)<0:x<b.x;}Point operator -(const Point &b)const{return Point(x-b.x,y-b.y);}//叉积double operator ^(const Point &b)const{return x*b.y - y*b.x;}//点积double operator *(const Point &b)const{return x*b.x + y*b.y;}//返回长度double len(){return hypot(x,y);//库函数}//返回两点的距离double distance(Point p){return hypot(x-p.x,y-p.y);}Point operator +(const Point &b)const{return Point(x+b.x,y+b.y);}//`化为长度为r的向量`Point trunc(double r){double l = len();if(!sgn(l))return *this;r /= l;return Point(x*r,y*r);}//`逆时针旋转90度`Point rotleft(){return Point(-y,x);}//`顺时针旋转90度`Point rotright(){return Point(y,-x);}
}point[N];
//圆
struct circle{Point p;//圆心double r;//半径circle(){}circle(Point _p,double _r){p = _p;r = _r;}circle(double x,double y,double _r){p = Point(x,y);r = _r;}//输入void input(){p.input();scanf("%lf",&r);}//输出void output(){printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",p.x,p.y,r);}bool operator == (circle v){return (p==v.p) && sgn(r-v.r)==0;}bool operator < (circle v)const{return ((p<v.p)||((p==v.p)&&sgn(r-v.r)<0));}//`点和圆的关系`//`0 圆外`//`1 圆上`//`2 圆内`int relation(Point b){double dst = b.distance(p);if(sgn(dst-r) < 0)return 2;else if(sgn(dst-r)==0)return 1;return 0;}//`两圆的关系`//`5 相离`//`4 外切`//`3 相交`//`2 内切`//`1 内含`//`需要Point的distance`//`测试：UVA12304`int relationcircle(circle v){double d = p.distance(v.p);if(sgn(d-r-v.r) > 0)return 5;if(sgn(d-r-v.r) == 0)return 4;double l = fabs(r-v.r);if(sgn(d-r-v.r)<0 && sgn(d-l)>0)return 3;if(sgn(d-l)==0)return 2;if(sgn(d-l)<0)return 1;}//`求两个圆的交点，返回0表示没有交点，返回1是一个交点，2是两个交点`//`需要relationcircle`//`测试：UVA12304`int pointcrosscircle(circle v,Point &p1,Point &p2){int rel = relationcircle(v);if(rel == 1 || rel == 5)return 0;double d = p.distance(v.p);double l = (d*d+r*r-v.r*v.r)/(2*d);double h = sqrt(r*r-l*l);Point tmp = p + (v.p-p).trunc(l);p1 = tmp + ((v.p-p).rotleft().trunc(h));p2 = tmp + ((v.p-p).rotright().trunc(h));if(rel == 2 || rel == 4)return 1;return 2;}//`得到过a,b两点，半径为r1的两个圆`static int gercircle(Point a,Point b,double r1,circle &c1,circle &c2){circle x(a,r1),y(b,r1);int t = x.pointcrosscircle(y,c1.p,c2.p);if(!t)return 0;c1.r = c2.r = r1;return t;}
};int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);double r;scanf("%lf",&r);int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)point[i].input();int ans=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i+1;j<=n;j++){circle c1,c2;circle::gercircle(point[i],point[j],r,c1,c2);int sum1=0,sum2=0;for(int k=1;k<=n;k++){if(c1.relation(point[k]))sum1++;if(c2.relation(point[k]))sum2++;}ans=max(ans,sum1);ans=max(ans,sum2);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

n^2logn

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;const double eps=1e-8;int sgn(double x)
{if(fabs(x)<=eps)return 0;if(x<0)return -1;return 1;
}struct Point
{double x,y;void input(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}double distance(const Point& t)const{return hypot(x-t.x,y-t.y);}
}point[N];struct Node
{double alpha;int flag;Node(double alpha,int flag):alpha(alpha),flag(flag){}bool friend operator<(const Node& a,const Node& b){if(sgn(a.alpha-b.alpha)==0)return a.flag>b.flag;return sgn(a.alpha-b.alpha)<0;}
};int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);double r;scanf("%lf",&r);int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) point[i].input();int ans=1;for(int i=1;i<=n;i++){vector<Node>node;for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)continue;double dis=point[i].distance(point[j]);if(sgn(dis-2*r)>0)continue;double alpha=atan2(point[j].y-point[i].y,point[j].x-point[i].x);double phi=acos(dis/(2.0*r));node.push_back(Node(alpha-phi,1));node.push_back(Node(alpha+phi,-1));}sort(node.begin(),node.end());int sum=0;for(auto it:node){sum+=it.flag;ans=max(ans,sum+1);}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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n^2logn

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