均差定义及性质(python实现)

简述

k阶均差

f[x0,x1,...,xk]=f[x0,x1,...,xk−2,xk]−f[x0,x1,...,xk−1]xk−xk−1f[x0,x1,...,xk]=f[x0,x1,...,xk−2,xk]−f[x0,x1,...,xk−1]xk−xk−1

f[x_0, x_1,..., x_k] = \frac{f[x_0, x_1,..., x_{k-2},x_{k}] - f[x_0, x_1,..., x_{k-1}]}{ x_k - x_{k-1}}

一阶均差

f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0

f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{ x_1 - x_0}

上述式子可以看到递推性质。
最终都会收敛到一阶均差。

性质

f[x0,x1,...,xk]=∑j=0kf(xj)∏t!=j(xj−xt)f[x0,x1,...,xk]=∑j=0kf(xj)∏t!=j(xj−xt)

f[x_0, x_1,..., x_k] = \sum_{j=0}^{k} \frac{f(x_j)}{\prod_{t!=j}{(x_j - x_t)}} 这个性质，带来的就是简化均差的简化运算（其实也很好记的，这里，分母不就是之前w′n(xj)wn′(xj)w_n'(x_j)）
f[x0,x1,...,xk]=f[x1,x2,...,xk]−f[x0,x1,...,xk−1]xk−x0f[x0,x1,...,xk]=f[x1,x2,...,xk]−f[x0,x1,...,xk−1]xk−x0

f[x_0, x_1,..., x_k] = \frac{f[x_1, x_2,..., x_{k}] - f[x_0, x_1,..., x_{k-1}]}{ x_k - x_{0}}
f[x0,x1,...,xk]=f(n)(ξ)n!f[x0,x1,...,xk]=f(n)(ξ)n!

f[x_0, x_1,..., x_k] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}

python实现

下面是用python实现的均差，ff()就是f[,,]
其中f(x)=1x2+1f(x)=1x2+1f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}

def f(X):return 1 / (x ** 2 + 1)def ff(X=list()):if len(X) < 2:raise ValueError('X\'s length must be bigger than 2')ans = 0for i in range(len(X)):temp = 1.0for j in range(len(X)):if j == i:continuetemp *= (X[i] - X[j])ans += (f(X[i]) / temp)return ans

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