基于移位寄存器的序列密码

深入浅出密码学2.3

线性反馈移位寄存器（LFSR）

一个LFSR由若干时钟储存元件（触发器）和一个反馈路径组成。储存元件的数目给出了LFSR的度。反馈网络计算移位寄存器中某些触发器的XOR和，并将其作为上一个触发器的输入。

简单LFSR

例如一个度m=3，有三个触发器FF₂、FF₁、FF₀。且反馈路径如图：
内部状态由s_i表示，在每个时钟滴答内，内部状态位会向右移动一位。最右边的状态位为当前输出位。最左边的状态位则是在反馈路径中计算的，它是前面时钟周期中一些触发器值的XOR和。

由实例得出，度为3的LFSR输出的周期长度为7，且当初始状态位为s₀,s₁,s₂时，有s_i+3≡s_i+1+s_i mod 2。

LFSR的数字描述

度为m，初始值为s_m-1,…,s₀、反馈系数为p_i的通用LFSR（线性反馈移位寄存器）形式为：
此LFSR拥有m个触发器和m个可能的反馈位置，反馈路径的活跃取决于反馈系数p。

当p_i=1时开关被关闭，那么反馈就是活跃的，而如果p_i=0时开关打开，此时触发器的输出就不会被反馈。

假设某个LFSR初始加载的值为s₀,…,s_m-1，则LFSR的下一个输出位s_m=s_m-1p_m-1+s_m-2p_m-2+…+s₀p₀ mod 2。

定理：度为m的LFSR可以产生的最大序列长度为2^m-1。

因为一个m位状态向量只能得到2^m-1个非零状态，所以在出现重复之前的最长序列长度位为2^m-1。

注意，必须排除所有为零的状态。如果一个LFSR全零，它就会陷入这个状态，也就是之后的数也都是0了。

只有特定位置（p₀,…,p_m-1)才能得到最大长度的LFSR。

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