©PaperWeekly 原创 · 作者｜苏剑林

单位｜追一科技

研究方向｜NLP、神经网络

今天介绍一篇比较经典的工作，作者命名为 f-GAN，他在文章中给出了通过一般的 f 散度来构造一般的 GAN 的方案。可以毫不夸张地说，这论文就是一个 GAN 模型的“生产车间”，它一般化的囊括了很多 GAN 变种，并且可以启发我们快速地构建新的 GAN 变种（当然有没有价值是另一回事，但理论上是这样）。

论文链接：https://arxiv.org/abs/1606.00709

局部变分

整篇文章对 f 散度的处理事实上在机器学习中被称为“局部变分方法”，它是一种非常经典且有用的估算技巧。事实上本文将会花大部分篇幅介绍这种估算技巧在 f 散度中的应用结果。至于 GAN，只不过是这个结果的基本应用而已。

f散度

首先我们还是对 f 散度进行基本的介绍。所谓 f 散度，是 KL 散度的一般化：

注意，按照通用的约定写法，括号内是 p/q 而不是 q/p，大家不要自然而言地根据 KL 散度的形式以为是 q/p。

可以发现，这种形式能覆盖我们见过的很多概率分布之间的度量了，这里直接把论文中的表格搬进来（部分）。

凸函数

上面列举了一堆的分布度量以及对应的 f ，那么一个很自然的问题是这些 f 的共同特点是什么呢？

答案是：

1. 它们都是非负实数到实数的映射（）；

2. f(1)=0；

3. 它们都是凸函数。

第一点是常规的，第二点  f(1)=0 保证了 ，那第三点凸函数是怎么理解呢？其实它是凸函数性质的一个最基本的应用，因为凸函数有一个非常重要的性质（詹森不等式）：

也就是“函数的平均大于平均的函数”，有些教程会直接将这个性质作为凸函数的定义。而如果 f(u) 是光滑的函数，我们一般会通过二阶导数 f′′(u) 是否恒大于等于 0 来判断是否凸函数。

利用 (2)，我们有：

也就是说，这三个条件保证了 f 散度是非负，而且当两个分布一模一样时 f 散度就为 0，这使得  可以用来简单地度量分布之间的差异性。当然，f 散度原则上并没有保证 P≠Q 时 。但通常我们会选择严格凸的 f（即 f′′(u) 恒大于 0），那么这时候可以保证 P≠Q 时 ，也就是说这时候有 。

注：即便如此，一般情况下  仍然不是满足公理化定义的“距离”，不过这个跟本文主题关系不大，这里只是顺便一提。

凸共轭

现在从比较数学的角度讨论一下凸函数，一般地，记凸函数的定义域为 D（对于本文来说，）。选择任意一个点 ξ，我们求 y=f(u) 在 u=ξ 处的切线，结果是：

考虑两者的差函数：

所谓凸函数，直观理解，就是它的图像总在它的（任意一条）切线上方，因此对于凸函数来说下式恒成立。

整理成：

因为不等式是恒成立的，并且等号是有可能取到的，因此可以导出：

换新的记号，记 t=f′(ξ)，并从中反解出 ξ（对于凸函数，这总能做到，读者可以自己尝试证明），然后记：

那么就有：

这里的 g(t) 就称为 f(u) 的共轭函数。留意花括号里边的式子，给定 f 后，g 也确定了，并且整个式子关于 u 是线性的。所以总的来说，我们做了这样的一件事情：

对一个凸函数给出了线性近似，并且通过最大化里边的参数就可以达到原来的值。

注意给定 u，我们都要最大化一次 t 才能得到尽可能接近 f(u) 的结果，否则随便代入一个 t，只能保证得到下界，而不能确保误差大小。所以它称为“局部变分方法”，因为要在每一个点（局部）处都要进行最大化（变分）。这样一来，我们可以理解为 t 实际上是 u 的函数，即：

上述讨论过程实际上已经给出了计算凸共轭的方法，在这里我们直接给出上表对应的凸函数的共轭函数。

注：这里的 W 为朗伯 W 函数。

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

f-GAN

由上述推导，我们就可以给出 f 散度的估算公式，并且进一步给出 f-GAN 的一般框架。

f散度估计

计算 f 散度有什么困难呢？根据定义 (1) ，我们同时需要知道两个概率分布 P , Q 才可以计算两者的 f 散度，但事实上在机器学习中很难做到这一点，有时我们最多只知道其中一个概率分布的解析形式，另外一个分布只有采样出来的样本，甚至很多情况下我们两个分布都不知道，只有对应的样本（也就是说要比较两批样本之间的相似性），所以就不能直接根据 (1) 来计算 f 散度了。

结合 (1) 和 (11) ，我们得到：

将  记为整体 T(x)，那么就有：

式 (13) 就是估计 f 散度的基础公式了。意思就是说：分别从两个分布中采样，然后分别计算 T(x) 和 g(T(x)) 的平均值，优化 T，让它们的差尽可能地大，最终的结果就是f散度的近似值了。显然 T(x) 可以用足够复杂的神经网络拟合，我们只需要优化神经网络的参数。

注意在对凸函数的讨论中，我们在最大化目标的时候，对 T 的值域是有限制的。因此，在 T 的最后一层，我们必须设计适当的激活函数，使得 T 满足要求的值域。当然激活函数的选择不是唯一的，参考的激活函数已经列举在前表。注意，尽管理论上激活函数的选取是任意的，但是为了优化上的容易，应该遵循几个原则：

1. 对应的定义域为 R，对应的值域为要求值域（边界点可以忽略）；

2. 最好选择全局光滑的函数，不要简单地截断，例如要求值域为 R+ 的话，不要直接用 relu(x)，可以考虑的是  或者 ；

3. 注意式 (13) 的第二项包含了 g(T(x))，也就是 g 和 T 的复合计算，因此选择激活函数时，最好使得它与 g 的复合运算比较简单。

GAN批发

好了，说了那么久，几乎都已经到文章结尾了，似乎还没有正式说到 GAN。事实上，GAN 可以算是整篇文章的副产物而已。

GAN 希望训练一个生成器，将高斯分布映射到我们所需要的数据集分布，那就需要比较两个分布之间的差异了，经过前面的过程，其实就很简单了，随便找一种 f 散度都可以了。然后用式 (13) 对 f 散度进行估计，估计完之后，我们就有 f 散度的模型了，这时候生成器不是希望缩小分布的差异吗？最小化 f 散度就行了。所以写成一个表达式就是：

或者反过来：

就这样完了。

需要举几个例子？好吧，先用 JS 散度看看。把所有东西式子一步步代进去，你会发现最终结果是（略去了 log2 的常数项）：

其中 D 用  激活。这就是最原始版本的 GAN 了。

用 Hellinger 距离试试？结果是：

这里的 D(x) 是线性激活。这个貌似还没有命名？不过论文中已经对它做过实验了。

那用 KL 散度呢？因为 KL 散度是不对称的，所以有两个结果，分别为：

或：

这里的 D(x) 也是线性激活。

好吧，不再举例了。其实这些 f 散度本质上都差不多，看不到效果差别有多大。不过可以注意到，JS 散度和 Hellinger 距离都是对称的、有界的，这是一个非常好的性质，以后我们会用到。

总结

说白了，本文主要目的还是介绍 f 散度及其局部变分估算而已。所以大部分还是理论文字，GAN 只占一小部分。

当然，经过一番折腾，确实可以达到“GAN 生产车间”的结果（取决于你有多少种f散度），这些新折腾出来的 GAN 可能并不像我们想象中的 GAN，但它们确实在优化 f 散度。不过，以往标准 GAN（对应 JS 散度）有的问题，其实 f 散度照样会有，因此 f-GAN 这个工作更大的价值在于“统一”，从生成模型的角度，并没有什么突破。

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