一、重叠子问题

斐波那契数列没有求最值的问题，因此严格来说它不是最优解问题，当然也就不是动态规划问题。但它能帮助你理解什么是重叠子问题。首先，它的数学形式即递归表达是这样的：

def Fibonacci(n):if (n == 0 or n == 1):return nif (n > 1):return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2)def main():result = Fibonacci(4)print(result)if __name__ == "__main__":main()

这个代码本身没有问题, 但是它的效率极低。假设上面的函数调用输入是10，把递归树画出来:

如果要计算原问题F(10), 就需要先计算出问题F(9)和F(8), 如果要计算F(9), 就需要先计算出子问题F(8) 和 F(7)，以此类推。这个递归的终止条件是当F(1)=1 或 F(0)=0时结束。

看完斐波那契数列的求解树之后，就会发现问题:

用红色标出的两个区域中，它们的递归计算过程完全相同

这意味着，第2个红色区域的计算是 “完全没有必要的”，它是重复的计算。因为我们已经在求解F(7)的时候把F(6)的所有情况算过了。因此我们把第2个红色区域的计算称为重叠子问题。

二、使用备忘录解决重复问题

既然存在重复的子问题，那我们在遇到这些重复的子问题时，只需要执行一次即可，即消灭重复计算的过程。

我们可以创建一个备忘录（memorization），在每次计算出某个子问题的答案后，将这个临时的中间结果记录到备忘录里，然后再返回。

接着，每当遇到一个子问题时，我们不是按照原有的思路开始对子问题进行递归求解，而是先去这个备忘录中查询一下。如果发现之前已经解决过这个子问题了，那么就直接把答案取出来复用，没有必要再递归下去耗时的计算了。

对于备忘录，可以考虑使用以下两种数据结构：

数组（Array），通常对于简单的问题来说，使用一维数组就足够了。
哈希表（Hash table），如果你存储的状态不能直接通过索引找到需要的值（比如斐波那契数列问题，你可以直接通过数组的索引确定其对应子问题的解是否存在，如果存在你就拿出来直接使用），比如你使用了更高级的数据结构而非简单的数字索引，那么你还可以考虑使用哈希表，即字典来存储中间状态，来避免重复计算的问题。

下面看看用数组实现的备忘录来解决斐波那契数列的代码：

def Fibonacci(n, memo):if (n == 0 or n == 1):return n# 如果备忘录中找到了之前计算的结果，那就直接返回，避免重复计算if (memo[n] != None):return memo[n]if (n > 1):memo[n] = Fibonacci(n - 1, memo) + Fibonacci(n - 2, memo)return memo[n]# 如果数值无效(比如 < 0)，则返回0return 0def FibonacciAdvance(n):memo = [None] * (n + 1)return Fibonacci(n, memo)def main():result = FibonacciAdvance(4)print(result)if __name__ == "__main__":main()

实际上，这就是我们所熟知的“剪枝与优化”，把一棵存在巨量冗余的递归树通过剪枝，改造成了一幅不存在冗余的递归图，极大减少了子问题（即递归图中节点）的个数。通过这种方式，我们大幅缩减了算法的计算量，因为所有重复的部分都被跳过了

三、重叠子问题的限制

有些问题虽然看起来像包含“重叠子问题”的子问题，但是这类子问题可能具有后效性，但我们追求的是无后效性。
所谓无后效性，指的是在通过 A 阶段的子问题推导 B 阶段的子问题的时候，我们不需要回过头去再根据 B 阶段的子问题重新推导 A 阶段的子问题，即子问题之间的依赖是单向性的。
换句话说，如果一个问题可以通过重叠子问题缓存进行优化，那么它肯定都能被画成一棵树。

四、方法的弊端

通过重叠子问题缓存可以极大加速我们的代码执行效率。但是凡事都有两面性，毋庸置疑，这种方案肯定是通过某种牺牲换取了性能的提升。
在硬币找零问题中，我们就可以利用备忘录来避免重复计算。但这样有个问题，如果我们的钱币总额数量非常巨大，那这个数组的大小就会非常巨大，导致的结果就是会占据大量的内存存储空间，而且有很多的数字其实是不会被求解的，存在很多的“存储空洞”。显然，这是一种浪费。
所以在解题的过程中，你需要根据实际情况，在空间和时间中寻求一个平衡，将这个问题考虑在内。

五、总结与升华

备忘录的思想极为重要，特别是当求解的问题包含重叠子问题时，只要问题包含重复计算，你就应该考虑使用备忘录来对算法时间复杂度进行简化。具体来说，备忘录解法可以归纳为：
1.用数组或哈希表来缓存已解的子问题答案，并使用自顶向下的递归顺序递归数据；
2.基于递归实现，与暴力递归的区别在于备忘录为每个求解过的子问题建立了备忘录（缓存）；
3.为每个子问题的初始记录存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解；
4.在求解过程中，从备忘录中查询。如果未找到或是特殊值，表示未求解；否则取出该子问题的答案，直接返回。

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