球面三角基本名称及性质、基本定理和公式、解法

§1 球面三角基本名称及性质

*大圆

通过球心的平面与球面相截的交线称为大圆，其半径等于球的半径R

*球面上两点A,B的大圆弧长

在球面上连接A,B两点的最短线是通过A,B的大圆上较短的弧，其圆心角为（弧度），

则大圆弧长（弧长）a=R，或记为a= （单位为大圆半径R）

*两大圆弧夹角

如图所示，两大圆弧(AB和AC)的交点A上相应的两条大圆切线，间的夹角称为这两大圆弧的夹角，记为角A，也可以称两平面OAB和OAC所构成的两面角为这两大圆弧的夹角

*球面二角形面积

如图所示，球面的面积（图中阴影部分）

（A为两大圆弧夹角，单位是弧度）

*球面三角形

三个大圆之间的球面部分称为球面三角形。因为三个大圆会构成几个球面三角形，

我们只考虑边和角都小于的球面三角形。

如图中所示球面三角形ABC，记a,b,c为三边（即三条大圆弧长以大圆半径R为度量单位）A、B、C为三角（三条大圆弧之间的两两夹角，以弧度为单位），则球面三角形的边和角满足以下条件：

，

称为球面角超（单位弧度）

球面三角形面积

§2.球面三角基本定理和公式

（以下各定理或公式，只列出其中之一，其它公式可利用指标循环规则，自行推出。球面三角形三边为α，β，γ，三个角为A,B,C）

1.正弦定理

2.余弦定理

*边：

*角：

3.余切定理

*边：

*角：

4.正切定理

5.五元素公式

*边：

*角：

6.半角公式

7.半边公式

8.德兰布——高斯公式

9.耐普尔公式

§3.球面三角形解法

1.一般球面三角形计算公式

已知元素 求解公式

三边：

三角：A,B,C

两边及夹角：

由

解出A,B.

两角及夹边：

由

解出

两边及一对角：

两角及一对边：

2.球面直角三角形计算公式

已知元素 求解公式

斜边及一角：

一直角边及其对角：

一直角边及其邻角：

两直角边：

斜边及一直角边：

两角：A,B

注：计算时，应尽量利用含未知元素的正切（或余切）的公式，应避免采用正弦的公式。

计算结果可代入正弦定理公式进行验算。

_{from: http://202.113.29.3/nankaisource/mathhands/}

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