如何用Python复现吉布斯现象？

1. 什么是吉布斯(Gibbs)现象？

在信号处理中，有很多很有意思的现象，比如由于栅栏效应引起的频谱泄露，和我们这一讲要讲到的吉布斯现象。

吉布斯现象和频谱泄露多少有些相像，频谱泄露是因为进行DFT时对时域信号进行了截断；而吉布斯现象则是对频域信号进行了截断。

先来看下维基百科上的解释，吉布斯现象是由Henry Wilbraham于1848年最先提出，并由约西亚·吉布斯于1899年证明。在工程应用时常用有限正弦项正弦波叠加逼近原周期信号。所用的谐波次数N的大小决定逼近原波形的程度，N增加，逼近的精度不断改善。但是由于对于具有不连续点的周期信号会发生一种现象：当选取的傅里叶级数的项数N增加时，合成的波形虽然更逼近原函数，但在不连续点附近会出现一个固定高度的过冲，N越大，过冲的最大值越靠近不连续点，但其峰值并不下降，而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%，且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式。

简单来说，就是我们对信号进行分析时，无论是对模拟信号还是数字信号，都无法分析无限大的频谱区间，我们只能截取频谱的一部分来分析，这就导致了对频谱产生了截断。比如一个矩形波信号（门函数）的傅里叶变换是Sinc函数，且频谱的区间是无线大的。

我们在进行分析时，只会取频谱中的一部分，假设我们取下图中的红框之内的部分。

如果我们再对截取后的信号做逆傅里叶变换，就会发现时域信号并非之前的矩形信号，而是在棱角处会有一个过冲。

当频域截断的带宽更大时，过冲的最大值越靠近不连续点，但其峰值并不下降。

2. 吉布斯现象的数学原理

说到吉布斯现象，必须要提到傅里叶，大名鼎鼎的傅里叶在1807年向法国科学学会提交了《热的传播》论文，里面提到一个当时很有争议的观点：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。这其实就是傅里叶级数（下面的公式），但拉格朗日却表示质疑，他认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，比如我们上面提到的矩形信号。科学学会鉴于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的论文。
sN(x)=A02+∑n=1NAn⋅cos⁡(2πnxP−φn)s_{N}(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N} A_{n} \cdot \cos \left(\frac{2 \pi n x}{P}-\varphi_{n}\right) sN(x)=2A0+n=1∑NAn⋅cos(P2πnx−φn)

他们两个的说法谁对谁错呢？

首选拉格朗日肯定是对的，傅里叶级数的每一项都是连续光滑函数，因此它们的组合不可能表示一个带有棱角的信号。

傅里叶也是对的，虽然无法精确表示，但我们可以用正弦曲线的组合来逼近的表示一个带有棱角的信号，逼近到这两个信号不存在能量差别；但这并不代表可以点点收敛，因此才有了吉布斯效应。在傅里叶级数中，我们取的项数越多（N越大），对应到上一节中我们选取的带宽就越大。

3. 如何用Python复现吉布斯现象？

可以分如下几步进行：

1.产生矩形信号；

n = 4096
n_ones = 40
sig = np.zeros(n,)
sig[n//2-n_ones//2:n//2+n_ones//2] = 1

2.对矩形进行做FFT变换到频域；

sig_fft = np.abs(np.fft.fftshift(np.fft.fft(sig)))

3.产生频域的矩形窗信号；

4.对频域的矩形窗信号做IFFT得到时域的Sinc信号；

5.将时域矩形信号与Sinc信号卷积得到过冲的矩形信号；

6.该矩形信号与频域截取后的信号是傅里叶变换对

具体过程可以参考下图：

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