本文参考熊金城《拓扑学》第2版，仅梳理思路，具体证明请查阅原书。

1. 拓扑空间

拓扑空间可以看做是一个集合XXX连同它的子集（称为开集）的一个族，使得∅\empty∅和XXX是开集，开集的任意并和有限交为都是开集。
离散拓扑 平凡拓扑 有限补拓扑

T′⊃T\mathcal{T} ^{'}\supset \mathcal{T}T′⊃T，则称T′\mathcal{T}^{'}T′细于T\mathcal{T}T。我们称T′\mathcal{T}^{'}T′与T\mathcal{T}T是可比较的，如果或者T′⊃T\mathcal{T} ^{'}\supset \mathcal{T}T′⊃T，或者T⊃T′\mathcal{T}\supset \mathcal{T}{'}T⊃T′

2. 拓扑基和拓扑子基

设B\mathcal{B}B是XXX上的一个拓扑基，则U∈TBU\in \mathcal{T}_\mathcal{B}U∈TB当且仅当∀x∈U,∃B∈B,s.t.x∈B⊂U\forall x\in U,\exists B\in \mathcal{B},s.t.x\in B\subset U∀x∈U,∃B∈B,s.t.x∈B⊂U。
当拓扑是由基给出的时候，就可以用基作为判别拓扑粗细的一个标准。

设B\mathcal{B}B和B′\mathcal{B}^{'}B′分别是XXX的拓扑T\mathcal{T}T和T′\mathcal{T}^{'}T′的基。则下列条件等价：
（1）T′\mathcal{T}^{'}T′细于T\mathcal{T}T；
（2）对于每一个x∈Xx\in Xx∈X及包含xxx的每一个基元素B∈BB\in \mathcal{B}B∈B，存在一个基元素B′∈B′B^{'}\in \mathcal{B}^{'}B′∈B′，使得x∈B′⊂Bx\in B^{'}\subset \mathcal{B}x∈B′⊂B
由此可以看出，平面上所有圆形域的族B\mathcal{B}B与所有矩形域的族B′\mathcal{B}^{'}B′，生成的是同一拓扑。
标准拓扑 下限拓扑(Rl\R_lRl) K拓扑(RK\R_KRK)

Rl\R_lRl和RK\R_KRK的拓扑都严格细于标准拓扑，但它们之间不可比较。

由子基S\mathcal{S}S生成的拓扑定义为S\mathcal{S}S中元素的有限交的所有并的族。

3. 序拓扑

R\RR上的序拓扑等于标准拓扑。

4. X×YX\times YX×Y上的积拓扑

定理
若B\mathcal{B}B是XXX的一个基，C\mathcal{C}C是YYY的拓扑的一个基，则族
D={B×C∣B∈B&C∈C}\mathcal{D}=\{B\times C|B\in \mathcal{B}\And C\in \mathcal{C}\} D={B×C∣B∈B&C∈C}
是X×YX\times YX×Y的拓扑的一个基。

定义
设π1:X×Y→X\pi_1:X\times Y\to Xπ1:X×Y→X定义为
π1(x,y)=x\pi_1(x,y) = x π1(x,y)=x
π2:X×Y→X\pi_2:X\times Y\to Xπ2:X×Y→X定义为
π2(x,y)=y\pi_2(x,y) = y π2(x,y)=y
映射π1\pi_1π1和π2\pi_2π2分别称为X×YX\times YX×Y到它的第一因子和第二因子上的投影。

族
S={π1−1(U)∣U是X中的开集}∪{π2−1(V)∣V是Y中的开集}\mathcal{S} = \{\pi_1^{-1}(U)|U是X中的开集\}\cup\{\pi_2^{-1}(V)|V是Y中的开集\} S={π1−1(U)∣U是X中的开集}∪{π2−1(V)∣V是Y中的开集}
是X×YX\times YX×Y的积拓扑的一个子基。

5. 子空间拓扑

若AAA是XXX的一个子空间，BBB是YYY的一个子空间，则A×BA\times BA×B的积拓扑与它从X×YX\times YX×Y继承的子空间拓扑是同一个拓扑。
一般而言，YYY上的子空间拓扑总是比YYY上的序拓扑细。
设XXX是具有序拓扑的一个全序集，并且YYY是XXX的一个凸子集，那么YYY的序拓扑与它从XXX继承的子空间拓扑是同一个拓扑。

6. 闭集与极限点

设 XXX是一个拓扑空间，则下列结论成立：
（1）∅\empty∅和XXX都是闭的。
（2）闭集的任意交都是闭的。
（3）闭集的有限并都是闭的。

设YYY是XXX的一个子空间，集合AAA是YYY的一个闭集当且仅当AAA是XXX中的一个闭集与YYY的交。
设YYY是XXX的一个子空间，若AAA是YYY的一个闭集并且YYY是XXX的一个闭集，则AAA也是XXX的一个闭集。
设YYY是XXX的一个子空间，AAA是YYY的一个子集，A‾\overline{A}A表示AAA在XXX中的闭包，那么AAA在YYY中的闭包等于A‾∩Y\overline{A}\cap YA∩Y。
设AAA是拓扑空间XXX的一个子集，A′A'A′是A的所有极限点的集合，则
A‾=A∪A′\overline{A} = A\cup A' A=A∪A′

7. Hausdorff空间

Hausdorff空间中的任何有限集都是闭的。
若拓扑空间XXX的任一单点集为闭集，则称XXX为T1T_1T1空间，该条件称为T1T_1T1公理。
显然，Hausdorff空间为T1T_1T1空间
有限点集是闭集的条件比Hausdorff条件要弱，例如实直线R\RR的有限补拓扑并不是一个Hausdorff空间，但在此空间中有限点集是闭集。
设拓扑空间XXX满足T1T_1T1公理，AAA是XXX的一个子集，则点xxx是AAA的极限点当且仅当xxx的每一个邻域与AAA的交是无限集。
若XXX是一个Hausdorff空间，则XXX中的一个序列最多收敛到一个点。
每一个具有序拓扑的全序集是一个Hausdorff空间。两个Hausdorff空间的积是一个Hausdorff空间，Hausdorff空间的子空间是一个Hausdorff空间。

8. 连续函数

设XXX和YYY是两个拓扑空间，f:X→Yf:X\to Yf:X→Y.下列条件是等价的：
（1）fff连续；
（2）对于XXX的任一个子集AAA，有f(A‾)⊂f(A)‾f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}f(A)⊂f(A)；
（3）对于YYY的任一个闭集BBB，f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B)是XXX中的一个闭集；
（4）对于每一个x∈Xx\in Xx∈X和f(x)f(x)f(x)的每一个邻域VVV，存在xxx的一个邻域UUU使得f(U)⊂Vf(U)\subset Vf(U)⊂V.

同胚的等价定义：
一一映射f:X→Yf:X\to Yf:X→Y，使得f(U)f(U)f(U)是一个开集的充要条件是UUU是一个开集。

设XXX和YYY是两个拓扑空间，f:X→Yf:X\to Yf:X→Y是一个连续单射。用ZZZ表示像集f(X)f(X)f(X)，把它看成YYY的一个子空间。那么由限制fff的值域得到的函数f′:X→Zf':X\to Zf′:X→Z就是一一映射。若f′f'f′正好是XXX与ZZZ之间的一个同胚，则称映射f:X→Yf:X\to Yf:X→Y是一个拓扑嵌入。
注：f:[0,1)→R2f:[0,1)\to \R^2f:[0,1)→R2,f(x)=(cos2πx,sin2πx)f(x) = (cos2\pi x,sin2\pi x)f(x)=(cos2πx,sin2πx)不是嵌入。

黏结引理
设X=A∪BX=A\cup BX=A∪B并且AAA和BBB都是XXX中的闭集。f:A→Yf:A\to Yf:A→Y与g:B→Yg:B\to Yg:B→Y都是连续函数。若对于任意x∈A∩Bx\in A\cap Bx∈A∩B有f(x)=g(x)f(x) =g(x)f(x)=g(x)，则fff和ggg可以组成一个连续函数h:X→Yh:X\to Yh:X→Y，满足h(x)=f(x),x∈A;h(x)=g(x),x∈Bh(x) = f(x),x\in A;h(x) = g(x),x\in Bh(x)=f(x),x∈A;h(x)=g(x),x∈B。

到积空间的映射(maps into products) & 积空间的映射(maps from products)

设f:A→X×Yf:A\to X\times Yf:A→X×Y定义为
f(a)=(f1(a),f2(a)).f(a)=(f_1(a),f_2(a)). f(a)=(f1(a),f2(a)).
则fff连续的充分必要条件是函数
f1:A→X与f2:A→Yf_1:A\to X 与 f_2:A\to Y f1:A→X与f2:A→Y
都连续。映射f1,f2f_1,f_2f1,f2称为fff的坐标函数。

反之，对于定义域是积空间的映射f：A×B→Xf：A\times B\to Xf：A×B→X，则没有常用的方法判断其连续性。
猜想：如果fff“分别关于每一个变量”连续，则fff连续。但它是不对的。

9. 笛卡尔积上的拓扑

S=⋃α∈J{πα−1(Uα)∣Uα是Xα中开集}\mathcal{S}=\bigcup _{\alpha\in J}\{\pi_{\alpha}^{-1}(U_{\alpha}) |U_{\alpha} 是X_{\alpha} 中开集\}S=⋃α∈J{πα−1(Uα)∣Uα是Xα中开集}是∏α∈JXα\prod_{\alpha\in J}{X_{\alpha}}∏α∈JXα上的拓扑子基，生成的拓扑称为乘积拓扑。

C={∏α∈JUα∣Uα是Xα中开集}\mathcal{C} = \{\prod_{\alpha\in J}{U_{\alpha}}|U_{\alpha} 是X_{\alpha} 中开集\}C={∏α∈JUα∣Uα是Xα中开集}是∏α∈JXα\prod_{\alpha\in J}{X_{\alpha}}∏α∈JXα上的拓扑基，生成的拓扑称为箱拓扑。

箱拓扑与积拓扑的比较
∏Xα\prod X_{\alpha}∏Xα的箱拓扑以形如∏Uα\prod U_{\alpha}∏Uα的集合作为基元素，其中，对于每一个α\alphaα，UαU_{\alpha}Uα在XαX_{\alpha}Xα中是开的。∏Xα\prod X_{\alpha}∏Xα的积拓扑以形如∏Uα\prod U_{\alpha}∏Uα的集合作为基元素，其中UαU_{\alpha}Uα在XαX_{\alpha}Xα中是开的，并且除去有限多个α\alphaα外，每一个α\alphaα都有Uα=XαU_{\alpha}=X_{\alpha}Uα=Xα。

对于有限积∏Xα\prod X_{\alpha}∏Xα，两种拓扑是一样的。
一般来说，箱拓扑细于积拓扑。

当我们讨论积空间∏Xα\prod X_{\alpha}∏Xα时，如果不特别申明，总是假定所给的就是积拓扑。

10. 度量拓扑

若ddd是集合XXX的一个度量，则全体ϵ−\epsilon-ϵ−球B(x,ϵ)B(x,\epsilon)B(x,ϵ)的族，其中x∈X,ϵ>0x\in X, \epsilon >0x∈X,ϵ>0，是XXX的某一个拓扑的基，这个拓扑称为由度量ddd诱导出来的度量拓扑。
一个空间是否是可度量化的，仅仅依赖与空间的拓扑。
引理
设ddd和d′d'd′是集合XXX上的两个度量。T\mathcal{T}T和T′\mathcal{T}'T′分别是由它们诱导的拓扑，则T′\mathcal{T}'T′细于T\mathcal{T}T当且仅当对每一个x∈Xx\in Xx∈X及每一个ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，使得
Bd′(x,δ)⊂Bd(x,ϵ)B_{d'}(x,\delta) \subset B_d (x,\epsilon) Bd′(x,δ)⊂Bd(x,ϵ)

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