考研数据结构图的四种算法 ---- 来自天勤高分笔记

/*******************************最小代价生成树之普利姆算法思想:-----------贪心算法思想从图中任意取出一个顶点，把它当成一棵树，然后从与这棵树相邻接的边中选取一条最短（权值最小）的边，并将这条边及其所连接的顶点也并入这棵树中，此时得到了一颗有两个顶点的树。然后从于这棵树相邻接的边中选取一条最短的边，并将这条边及其所连接的顶点并入当前树中，得到一棵有三个顶点的树。以此类推，直到图中所有顶点都被并入树中为止，此时得到的生成树就是最小生成树。普利姆算法执行过程：从树中某个顶点V0开始，构造生成树的算法过程如下：1、将v0到其他顶点的所有边当做侯选边；2、重复以下步骤n-1次，使得其他n-1个顶点被并入生成树中。1）从侯选边中挑选出权值最小的边输出，并将于该边另一端相连接的顶点v并入生成树中2）考察所有剩余顶点vi，如果（vi,vj）的权值比lowcost[vi]小，则用（vi,vj）的权值更新lowcost[vj]********************************///普利姆算法的代码：struct MGraph{int n; // 顶点总数int edges[MAXSIZE][MAXSIZE];  // 边的权值};void Prim(MGraph& g,int v0,int sum)
{int lowcost[MAXSIZE], vset[MAXSIZE], v;int i = 0, j = 0, k = 0, mincost = 0;v = v0;for (i = 0; i < g.n; ++i){lowcost[i] = g.edges[v0][i];vset[i] = 0;}vset[v0] = 1;     // 将v0并入树中sum = 0;          // sum清零用来记录树的权值for (i = 0; i < g.n -1; ++i){mincost = lowcost[i];for (j = 0; j < g.n; ++j){if (vset[j] == 0 && lowcost[j] < mincost)   // 选出当前生成树中到其余顶点最短边中的最短的一条{mincost = lowcost[j];k = j;}vset[k] = 1;v = k;sum += mincost;  //此处记录了最小生成树的权值}//以刚并入的顶点v为媒介选取新的侯选边for (j = 0; j < g.n; ++j)  // 执行过程中的第二步{if (vset[j] == 0 && g.edges[v][j] < lowcost[j]){lowcost[j] = g.edges[v][j];}}}}//解释：
/*普利姆算法主要部分是一个双层循环：外层循环内嵌两个并列的单层循环，单层循环内的操作都是常量级别的，因此普利姆算法的时间复杂度为O(n*n)。可见普利姆算法的时间复杂度只与图中的顶点数有关，与边数无关，所以普利姆算法适用于稠密图
*//*** 克鲁斯卡尔算法：每次找出侯选边中权值最小的边，就将该边并入树中。重复此过程直到所有边都被检测完为止。克鲁斯卡尔算法执行过程：将图中该边按照权值从小到大排序，然后从最小边开始扫描各边，病检测当前边是否为侯选边，即是否该边的并入会构成回路，如果不构成回路，则将该边并入当前生成树中，直到所有边都检测完为止。判断是否产生回路需要用到并查集。并查集保存了一颗或者几棵树，这些树有这样的特点：1、通过树中一个节点可以找到器双亲结点，进而找到根结点（其实就是树的双亲存储结构）。这种特性有两个好处：1、一是可以快速地将两棵个含有很多元素的集合合并为一个。两个集合就是并查集中的两棵树，只需要找到其中一棵树的根，然后将其作为另一棵树中任何一个结点的孩子结点即可；2、二是可以很方便地判断两个元素是否属于同一个集合。通过这两个元素所在的结点找到它们的根结点，如果它们有相同的根，则说明它们属于同一个集合，否则属于不同集合。并查集可以用一维数组来简单的表示。*/
struct Road
{int a, b; // a和b为同一条边所连接的两个顶点int w;    // 边的权值static bool  cmp(Road & a, Road & b)  //结构体比较运算子{return a.w < b.w;}};Road road[MAXSIZE];int  v[MAXSIZE];   // 定义并查集数组
int getRoot(int a)  //在并查集中查找根结点的算法
{while (a != v[a]){a = v[a];}return a;
}struct MGraph2
{int n; // 顶点总数int edges;  // 边的总数
};void Kruskal(MGraph2& g,int & sum, Road road[])
{int i = 0; int N = 0, E = 0, a = 0, b = 0;N = g.n;E = g.edges;sum = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){v[i] = i;}sort(road, road + E,Road::cmp);        //对road数组的E条边按其权值从小到大进行排序for (i = 0; i < E; ++i){a = getRoot(road[i].a);b = getRoot(road[i].b);if (a != b){v[a] = b;sum += road[i].w;}}}//迪杰斯特拉算法  ； 单源点最短路径
# define INF 1000000000
//dist[vi]表示当前已找到的从v0到每个终点vi的最短路径的长度
//path[vi]保存的是从v0到vi最短路径上vi的前一个顶点，初始值为：若v0到vi有边，则path[vi] = v0,否则path[vi] = -1
//set[]为标记数组，set[vi] = 0表示vi没有被纳入最终的最短路径集合中，否则表示vi已经被纳入到最短路径中
void DijKstra(MGraph& g, int v, int dist[], int path[])
{int set[MAXSIZE];int min = 0, i = 0, j = 0, u = 0;//初始化操作for (int i = 0; i < g.n; ++i){dist[i] = g.edges[v][i];set[i] = 0;if (g.edges[v][i] < INF){path[i] = v;}else{path[i] = -1;}}//关键操作开始for (i = 0; i < g.n ; ++i){min = INF;//下面这个循环每次从剩余顶点中选出一个顶点，通往这个顶点的路径在通往所有剩余顶点的路径中是长度最短的for (j = 0; j < g.n; ++j){if (set[j] == 0 && dist[j] < min){min = dist[j];u = j;}}set[u] = 1; // 将选出的顶点并入到最短路径中//下面这个循环以刚并入的顶点为中间点，对所有通往剩余顶点的路径进行检测for (j = 0; j < g.n; ++j){//下面这个if语句会判断顶点u的加入是否会出现通往顶点j更短的路径，如果出现，则改变原来的路径及其长度，否则什么都不做if (set[j] == 0 && dist[u] + g.edges[u][j] < dist[j]){dist[j] = dist[u] + g.edges[u][j];path[j] = u;}}//关键操作结束}
}
//迪杰斯特拉算法结束时：dist[]中存放了起点v到其余顶点的最短路径长度，path[]中存放了起点v到其余各顶点的最短路径//弗洛伊德算法 ： 多源点最短路径算法（或者说是任意一对顶点之间的最短路径）
//弗洛伊德算法的思想：动态规划
void Floyd(MGraph& g,int Path[][MAXSIZE])
{int i = 0, j = 0, k = 0;int A[MAXSIZE][MAXSIZE];//这个双重循环对数组A[][]和Path[][]进行初始化for (int i = 0; i < g.n; ++i){for (int j = 0; j < g.n; ++j){A[i][j] = g.edges[i][j];Path[i][j] = -1;}}//下面这个三层循环是本算法的主要操作，完成了以k为中间顶点对所有顶点对（i，j）进行检测和修改for (k = 0; k < g.n; ++k){for (i = 0; i < g.n; ++i){for (j = 0 ; j < g.n; ++j){if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]){A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];Path[i][j] = k;}}}}}

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