GAMES101-计算机图形学学习笔记-基本线性代数

2024-04-29 13:58:00

原视频教程链接：https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744

向量

点乘

a→⋅b→=∥a→∥∥b→∥cos⁡θ={x1y1z1}{x2y2y2}=x1x2+y1y2+z1z2\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = \lVert\overrightarrow{a}\rVert \lVert\overrightarrow{b}\rVert \cos\theta = \left\{ \begin{matrix} x1 & y1 & z1 \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x2 \\ y2 \\ y2 \end{matrix} \right\} = x1x2 + y1y2 + z1z2a⋅b=∥a∥∥b∥cosθ={x1y1z1}⎩⎨⎧x2y2y2⎭⎬⎫=x1x2+y1y2+z1z2

投影

b 在 a 上的投影：b→⊥=ka^\overrightarrow{b}_\perp = k\hat{a}b⊥=ka^

模长的大小: k=∥b→∥cos⁡θk = \lVert\overrightarrow{b}\rVert \cos\thetak=∥b∥cosθ

叉乘

aXb=−bXaa \space X \space b = -b \space X \space aa X b=−b X a

模长： ∥aXb∥=∥a∥∥b∥sin⁡θ\lVert a X b\rVert = \lVert a\rVert\space\lVert b\rVert\space\sin\theta∥aXb∥=∥a∥ ∥b∥ sinθ

方向： 右手螺旋法则，手指方向从a旋转到b，拇指方向为其方向

判断点P是否在三角型内部:

AB→XAP→BC→XBP→CA→XCP→\overrightarrow{AB}\space X \space \overrightarrow{AP} \space\space\space\space \overrightarrow{BC}\space X \space \overrightarrow{BP} \space\space\space\space \overrightarrow{CA}\space X \space \overrightarrow{CP}AB X AP BC X BP CA X CP

三者符号相同说明P在三个向量的同一侧，即在三角形内部

正交坐标系

对于任意三个向量，若满足：

∥u→∥=∥v→∥=∥w→∥=1\lVert \overrightarrow{u} \rVert = \lVert \overrightarrow{v} \rVert = \lVert \overrightarrow{w} \rVert = 1∥u∥=∥v∥=∥w∥=1

u→⋅v→=v→⋅w→=u→⋅w→=0\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} · \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} · \overrightarrow{w} = 0u⋅v=v⋅w=u⋅w=0

w→=u→Xv→\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} X \overrightarrow{v}w=uXv (right-handed)

则任意向量p可表示为
p→=(p→⋅u→)u→+(p→⋅v→)v→+(p→⋅w→)w→\overrightarrow{p} = (\overrightarrow{p} · \overrightarrow{u})\overrightarrow{u}+ (\overrightarrow{p} · \overrightarrow{v})\overrightarrow{v}+ (\overrightarrow{p} · \overrightarrow{w})\overrightarrow{w}\spacep=(p⋅u)u+(p⋅v)v+(p⋅w)w (在三个方向上的投影)

矩阵运算

二维向量按y轴镜像： {−1001}{xy}={−xy}\left\{ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right\}= \left\{ \begin{matrix} -x \\ y \end{matrix} \right\}{−1001}{xy}={−xy}

乘积转置公式：(AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT

矩阵的逆

单位矩阵：I3x3={100010001}I_{3x3} = \left\{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\}I3x3=⎩⎨⎧100010001⎭⎬⎫
公式：
AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = IAA−1=A−1A=I
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1

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