探索最长回文串性质

题1：已知字符串以center为中心对称，求完整的字符串。

abcd???|
center

答

abcdcba|
center

题2：接上题，abcdcba后面还有一些字符，以center2为中心，最大对称半径[ref]半径大于等于1。[/ref]为7，求完整的字符串。

答根据center2的对称性质，可以知道字符串为

abcdcba???abcdcb??

又根据center2最大对称半径为7，而不是8，所以c后面一定不是b（标识为b）。center3的对称半径确定！而且，center关于center2的对称点center3的索引号为center2*2-center=8*2-3=13。对称半径为center2+7-center3=8+7-13=2。

题3：稍微调整上题，若center2在a，对称半径为8，求完整的字符串和center3的对称半径。

答：字符串为

babcdcbabcdcbab?

center3=center2*2-center=7*2-4=10。对称半径为center2+8-center3=7+8-10=5。这样对吗？

看起来半径不正确！应该同center一样都是4。问题出在哪里呢？明明用的是跟题2一样的公式啊！因为题2跟题3情况不同。题2 center左边超出了center2的对称范围；而题3 center左边没超出center2的对称范围。center3的半径确定。题4：同样，center在x，半径为2，center2在a，半径为5。求完整的字符串和center3半径。

答：根据center2的对称性补全center2范围内的字符。又因为center2的对称半径为5而不是6，索引11位的字符不是c。

cc dxdbab7dxd c11 ?12????

所以center3的半径就是2了吗？不一定哦！因为我们只知道索引11位的字符不是c，但它可能是b，这样就与索引7位的b匹配，对称半径达到3。同样地，我们也不知道索引12位的字符是什么。所以，在center和center2的左边界重合时，我们只知道center3半径的最小值。 根据这三道例题，我们已经总结出回文字符的半径性质：

当center1范围左超center2范围（简称左超），center3的半径可由计算得出，为确切值。
当center1范围内含于center2范围（简称内含），center3的半径等于其关于center2的对称点半径，为确切值。
当center1左边界与center2左边界重合（简称接边），center2半径大于等于其关于center2的对称点半径，值不确定。

在情况1、2中，求的是确切值，所以即使center3内含于多个对称范围，每个对称范围求出的半径都一定是一样的。在情况3中，所有对称范围的计算值的最大值是center3半径的最小值。

基本代码

下面给出基本代码。[code lang="java"]public static int getPalindromeLength(String s){if (s.length() == 0)return 0;StringBuilder sb = new StringBuilder(s.length() * 2 + 1);sb.setLength(sb.capacity());for (int i = 0; i < s.length(); i++)sb.setCharAt(i * 2 + 1, s.charAt(i));s = sb.toString();int[] radii = new int[s.length()];for (int center = 0; center < s.length() - 1; center++) // O(n){boolean notSure = true;// 检查center是否在某个对称区域的右半边for (int center2 = center - 1; center2 >= center / 2; center2--){if (center2 + radii[center2] > center) // center在以center2为中心的对称区域的右半边{int c1 = center2 * 2 - center;assert c1 >= 0;if (c1 - radii[c1] < center2 - radii[center2])// 左超，半径确定{radii[center] = center2 + radii[center2] - center;notSure = false;break;}else if (c1 - radii[c1] > center2 - radii[center2]) // 内含，半径确定{radii[center] = radii[c1];notSure = false;break;}else// 接边，半径可能变化radii[center] = Math.max(radii[c1], radii[center]);}}if (notSure){// ccxbabxbabxcc// 0123456789012/* * 索引6的x关于索引4的a对称，根据索引2的x得对称半径1。但实际上索引6的x是整个字符串的对称中心。 */int r = radii[center];while (center - r >= 0 && center + r < s.length() && s.charAt(center - r) == readChar(s, center + r))r++;radii[center] = r;}}int maxRadius = radii[0];for (int i = 0; i < radii.length; i++)maxRadius = Math.max(maxRadius, radii[i]);return (maxRadius - 1);}private static char readChar(String s, int index)//这个方法可用来查看计算复杂度{System.out.println("读取字符" + index);return s.charAt(index);}[/code]

现在分析复杂度，令比较运算为耗时间的操作。该代码通过notSure变量，仅当i关于center2的对称点接边的时候才读取字符来比较。前面性质分析中说的是左侧接边，根据对称性也是右侧接边。进入if (notSure)分支后继续读取更右边的字符，然后记录在radii里。以后，从radii里读就可以了。建议亲手运行代码看看，会发现程序不会重读前面读过的字符，不会读了012345，然后又读2345。既然程序只读取字符2n次，那么比较进行了n次，所以时间复杂度是O(n)。网上很多代码与上面的代码不太一样，有id、mx什么的，尤其有一个变量记录什么最右边的位置，不太好懂。读者如果理解了上面的基本代码，那么可以再看下下面的变形代码，变形代码与网上的代码比较像。变形代码的复杂度同样是O(n)。[code lang="java" title= language=]public static int getPalindromeLength2(String s){if (s.length() == 0)return 0;StringBuilder sb = new StringBuilder(s.length() * 2 + 1);sb.setLength(sb.capacity());for (int i = 0; i < s.length(); i++)sb.setCharAt(i * 2 + 1, s.charAt(i));s = sb.toString();int[] radii = new int[s.length()];int rCenter2 = 0;// 右边界最大的cfor (int i = 0; i < s.length() - 1; i++) // O(n){// 检查center是否在某个对称区域的右半边if (rCenter2 + radii[rCenter2] > i) // i在以center2为中心的对称区域的右半边{int c1 = rCenter2 * 2 - i;assert c1 >= 0;if (c1 - radii[c1] < rCenter2 - radii[rCenter2])// 左超，半径确定radii[i] = rCenter2 + radii[rCenter2] - i;else// 不左超。但如果接边，半径可能变化radii[i] = radii[c1];}// 如果右最大的c都不包括i，那么其他c更不会包括了。if (i + radii[i] == rCenter2 + radii[rCenter2])// 接边{int r = radii[i];while (i - r >= 0 && i + r < s.length() && s.charAt(i - r) == readChar(s, i + r))r++;radii[i] = r;// 接边后超右边比较，半径可能更大！if (i + radii[i] > rCenter2 + radii[rCenter2])rCenter2 = i;}}int maxRadius = radii[0];for (int i = 0; i < radii.length; i++)maxRadius = Math.max(maxRadius, radii[i]);return (maxRadius - 1);}[/code]

参考资料

[CiteWeb author="xiangzhai" url="https://github.com/xiangzhai/leetcode/blob/master/question/longest-palindromic-substring-part-ii.md" title="最长回文子字符串第二部" publisher="" date="2014-02-14" accessdate="2015-02-06"]

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