向量长度、夹角与向量正交

前置定理 1（施瓦茨不等式）　[x,y]2≤[x,x][y,y][\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]^2 \le [\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}] [\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}][x,y]2≤[x,x][y,y]（x,y\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}x,y 为 nnn 维度向量）

证明见 “向量内积的性质及施瓦茨不等式的证明”。

定义 1（向量长度）　令
∣∣x∣∣=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2||x|| = \sqrt{[\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}]} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} ∣∣x∣∣=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2
∣∣x∣∣||\boldsymbol{x}||∣∣x∣∣ 称为 nnn 维向量 x\boldsymbol{x}x 的长度（或范数）。

向量的长度具有下述性质：

性质 1（非负性）　当 x≠0\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}x=0 时，∣∣x∣∣>0||\boldsymbol{x}|| > 0∣∣x∣∣>0；当 x=0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}x=0，∣∣x∣∣=0||\boldsymbol{x}|| = 0∣∣x∣∣=0。

性质 2（齐次性）　∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣||\lambda \boldsymbol{x}|| = |\lambda| \ ||\boldsymbol{x}||∣∣λx∣∣=∣λ∣ ∣∣x∣∣。

可见这里所定义的向量长度具有解析几何中向量长度的基本属性。

当 ∣∣x∣∣=1||x|| = 1∣∣x∣∣=1 时，称 x\boldsymbol{x}x 为单位向量。若 a≠0\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}a=0，取 x=a∣∣a∣∣\boldsymbol{x} = \frac{\boldsymbol{a}}{||\boldsymbol{a}||}x=∣∣a∣∣a，则 x\boldsymbol{x}x 是一个单位向量。由向量 a\boldsymbol{a}a 得到 x\boldsymbol{x}x 的过程称为把向量 a\boldsymbol{a}a 单位化。

根据施瓦茨不等式（前置定理 1），当 ∣∣x∣∣∣∣y∣∣≠0||\boldsymbol{x}|| \ ||\boldsymbol{y}|| \ne 0∣∣x∣∣ ∣∣y∣∣=0 时，有
−1≤[x,y]∣∣x∣∣∣∣y∣∣≤1-1 \le \frac{[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]}{||\boldsymbol{x}|| \ ||\boldsymbol{y}||} \le 1 −1≤∣∣x∣∣ ∣∣y∣∣[x,y]≤1
于是有下面关于向量夹角的定义：

定义 2（向量夹角）　当 x≠0\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}x=0、y≠0\boldsymbol{y} \ne \boldsymbol{0}y=0 时，
θ=arccos⁡[x,y]∣∣x∣∣∣∣y∣∣\theta = \arccos \frac{[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}]}{||\boldsymbol{x}|| \ ||\boldsymbol{y}||} θ=arccos∣∣x∣∣ ∣∣y∣∣[x,y]
称为 nnn 维向量 x\boldsymbol{x}x 与 y\boldsymbol{y}y 的夹角。

当 [x,y]=0[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}] = 0[x,y]=0 时，称向量 x\boldsymbol{x}x 与 y\boldsymbol{y}y 正交。显然，若 x=0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}x=0，则 x\boldsymbol{x}x 与任何向量都正交。

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