BZOJ

\(Description\)

给定两个串\(S,T\)以及一个数\(k\)，求\(T\)中有多少个子串，满足和\(S\)的编辑距离不超过\(k\)。
\(|S|+|T|\leq10^5,\ k\leq 5\)。

\(Solution\)

考虑枚举\(T\)的每个后缀\(i\)（注意后缀是指啥= =），求后缀\(i\)中有哪些前缀满足条件。
怎么处理编辑距离呢？\(k\)很小，直接搜。
设\(S,T\)分别匹配到\(x,y\)位置，可以用\(SA\)求\(LCP(x,y)\)，然后直接跳到下一个不匹配位置。
如果\(S_x\neq T_y\)，那么有三种选择：删掉\(T_y\to x,y+1\)，在\(T_y\)前插入一个\(S_x\to x+1,y\)，把\(T_y\)替换成\(S_x\to x+1,y+1\)。
所以\(DFS\)的复杂度是\(3^k\)的。
匹配完\(S\)串后，如果还剩下一些可用编辑距离\(rest\)，显然此时前缀\([y-rest,y+rest]\)都满足条件，差分一下即可。注意这些前缀不要算重（一个位置只能算一次）。

复杂度\(O(n\log n+n3^k)\)。

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1e5+7;int na,nb,Now,L,R,sum[N];
char s[N];
struct Suffix_Array
{int sa[N],sa2[N],rk[N],tm[N],ht[N],Log[N],st[17][N];inline int LCP(int l,int r){l=rk[l], r=rk[r]; if(l>r) std::swap(l,r);++l; int k=Log[r-l+1];return std::min(st[k][l],st[k][r-(1<<k)+1]);}void Build(const char *s,const int n){int m=27,*x=rk,*y=sa2;for(int i=0; i<=m; ++i) tm[i]=0;for(int i=1; i<=n; ++i) ++tm[x[i]=s[i]-'A'+1];for(int i=1; i<=m; ++i) tm[i]+=tm[i-1];for(int i=n; i; --i) sa[tm[x[i]]--]=i;for(int k=1,p=0; k<n; k<<=1,m=p,p=0){for(int i=n-k+1; i<=n; ++i) y[++p]=i;for(int i=1; i<=n; ++i) if(sa[i]>k) y[++p]=sa[i]-k;for(int i=0; i<=m; ++i) tm[i]=0;for(int i=1; i<=n; ++i) ++tm[x[i]];for(int i=1; i<=m; ++i) tm[i]+=tm[i-1];for(int i=n; i; --i) sa[tm[x[y[i]]]--]=y[i];std::swap(x,y), x[sa[1]]=p=1;for(int i=2; i<=n; ++i)x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?p:++p;if(p>=n) break;}for(int i=1; i<=n; ++i) rk[sa[i]]=i;ht[1]=0;for(int i=1,k=0; i<=n; ++i){if(rk[i]==1) continue;if(k) --k;int p=sa[rk[i]-1];while(i+k<=n && p+k<=n && s[i+k]==s[p+k]) ++k;ht[rk[i]]=k;}st[0][1]=ht[1];for(int i=2; i<=n; ++i) Log[i]=Log[i>>1]+1, st[0][i]=ht[i];for(int j=1; j<=Log[n]; ++j)for(int t=1<<j-1,i=n-t; i; --i)st[j][i]=std::min(st[j-1][i],st[j-1][i+t]);}
}sa;inline void Upd(int l,int r)
{l=std::max(l,Now), r=std::min(r,nb), L=std::min(l,L), R=std::max(r+1,R);++sum[l], --sum[r+1];//注意可行前缀位置的限制（在Now~nb内）
}
void DFS(int x,int y,int rest)
{int t=sa.LCP(x,y+na+1);x+=t, y+=t;if(x>na||y>nb){int d=rest-(na-x+1);if(d>=0) Upd(y-1-d,y-1+d);return;}if(rest) --rest, DFS(x+1,y,rest), DFS(x,y+1,rest), DFS(x+1,y+1,rest);
}int main()
{int K; scanf("%d%s",&K,s+1);na=strlen(s+1), s[na+1]='[';scanf("%s",s+na+2), nb=strlen(s+na+2);const int n=na+nb+1; sa.Build(s,n);int ans=0;for(int i=1,delta=std::max(0,na-K); i+delta<=nb; ++i){Now=i, L=N, R=0, DFS(1,i,K);for(int j=L; j<=R; ++j) ans+=(sum[j]+=sum[j-1])>0;for(int j=L; j<=R; ++j) sum[j]=0;}printf("%d\n",ans);return 0;
}