哈斯图 寻找 极小元与极大元 最小元与最大元 上界与下界 最小上界(上确界)和最大下界(下确界)(一看就会)附一练习题
目录
- 示例
- 极小元与极大元
- 最小元与最大元
- 上界与下界
- 最小上界(上确界)和最大下界(下确界)
- 练习题
示例
前置知识:
1)偏序关系与偏序集
2)哈斯图的概念及绘画
示例是整除关系,C表示全集{1,2,3,6,12,24,36}。画出哈斯图,为方便理解,由下往上分为5行。
极小元与极大元
定义:
判断标准:列出子集中所有元素的关系,利用定义判断。
通常(有特例,不建议以此为判断标准),在子集B中,最上面一行元素是极大元;最下面一行元素是极小元。
极大元与极小元不是唯一的。
解释:
1)子集{2,3}中,2,3不可比较,因此子集中既没有比2,3更大的元素,也没有比2,3更小的元素,所以2,3既是极大元,又是极小元。
2)子集{1,2,3}中,1≤21\leq21≤2,1≤31\leq31≤3, 2,32,32,3不可比较,因此子集中没有比1更小的元素,没有比2,3更大的元素,所以1是极小元,2,3是极大元。
3)4)留给读者自己分析。
最小元与最大元
定义:
判断标准:先求出该子集的极小元与极大元。如果极小元只有一个,那么最小元就是该极小元;若极小元有多个,就没有最小元。最大元的判断同理。
解释:
2)子集{1,2,3}中,极小元是1,极大元是2,3。极小元只有一个数,因此最小元就是极小元。极大元有两个数,因此没有最大元。
1)3)4)留给读者自己分析。
上界与下界
定义:
判断标准:就是在全集里面,寻找比子集B的所有元素都大(都小)的元素。(注意,在哈斯图里,可以认为一个元素小于本身的同时大于本身。)
最小上界(上确界)和最大下界(下确界)
判断标准:上确界就是上界里面最小的元素,下确界就是下界里面最大的元素。
有用的技巧:子集B如果有最大元,上确界就是该最大元。如果有最小元,下确界就是该最小元。
练习题
设集合A={1,2,3,6 ,8,12,24,36}上的整除关系R的哈斯图,如图所示。试求子集B={2,6,8}的极大元,极小元,最大元,最小元,上界,下界,上确界,下确界。
答案:(建议先自己做)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
极大元:6,8
极小元:2
最大元:无
最小元:2
上界:24
下界:1,2
上确界:24
下确界:2
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