zoj 3351 Bloodsucker

转自：http://www.cppblog.com/aswmtjdsj/archive/2011/10/29/159321.html

题目大意：
说你手里有n个生物，n-1个人，1个吸血鬼。每一天，你从这堆里面随机挑出两头来，如果是不同种，那么人就有p的概率会被同化为吸血鬼。
求一个期望，问给定n和p的情况下，所有人变吸血鬼的期望天数D。

做法：
首先是要看出最基本的式子，就是在n个生物，n-x个人，x个吸血鬼的情况下抽出两头不同生物的概率：
假设分先后抽，那么先抽吸血鬼x / n , 后抽人 (n - x) / (n - 1) , 概率为 x * ( n - x) / (n * (n - 1))；先抽人 (n - x) / n , 后抽吸血鬼 x / (n - 1) , 概率为 x * (n - x) / (n * ( n - 1))。
所以th[x]（表示在n个生物，n-x个人，x个吸血鬼的情况下抽出两头不同生物的概率） = 2 * x * (n - x) / (n * (n - 1))。
然后就可以得出在某轮已有x个吸血鬼的前提下，吸血鬼数量增加1的概率为f[x] = th[x] * p 。而不变的概率则为g[x] = 1.0 - f[x]。

则可以建立如下概率转移图。Sx表示当前有x个吸血鬼。第k层的Sx的表示，到了第k-1天，有x个吸血鬼（的概率转移）。

所以可以看出Sx只和Sx-1和Sx本身有关。假设DP[x]表示由初始状态变成有x个吸血鬼所需天数的期望。
DP[x] = sigma(i = 1 to infinity)[f[x-1] * i * g[x-1] ^ (i - 1)]
而最终的期望即为所有期望之和ans = sigma(i=2 to n) DP[i]。
题目的关键就是DP[x]的求解，仔细观察这是一个等差乘等比的无穷级数求和，根据高中所学的错位相减法得到公式：
设Sn=DP[x],a=f[x-1],p=g[x-1]。则Sn-p*Sn=a+a*p+a*p^2....+a*p^n-1-n*a*p^n
Sn=a*[(1-p^n) - n*(1-p)*p^n]/(1-p)^2
lim(n->inf) Sn=a/(1-p)^2=1/a
所以最后的ans=sigma(1/a[i])=sigma(1.0/(2.0*p*i*(n-i)/(n*(n-1))))。
因为n在10^5级别，所以要用double乘，不然int会爆精度。

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