图像的二阶导数为何对噪声尤为敏感-----图像二阶导数的本质

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前面我们介绍过了图像的二阶导数，并且指出，二阶导数比一阶导数有更好的细节增强表现。那么，其原理是什么呢？

我们仍然简化问题，考虑下x方向，选取某个像素，如下图所示：

可以看出，在图中标红色框框的像素附近是一个明显的分界线，上面是一片平坦的灰度区域，下面是灰度缓慢变化的区域。而且有着明显的灰度突变：从100突变到50。我们可以把这个看作图像中物体的轮廓边缘。

根据前几篇文章的介绍，图像在x方向的一阶导数和二阶导数分别是：

我们根据上面的式子计算下这个像素x方向上的一阶导数和二阶导数，如下图所示：

我们注意到：对于一阶导数，除了灰度突变的地方，其它灰度缓慢变化的地方数值相同，而且符号也相同。而二阶导数在灰度缓慢变化的地方数值为0，而在灰度突变的地方有符号相反的2个数值。也即二阶导数产生了一个像素宽的双边缘。

前面提到，求一阶导数时，用的是绝对值，而二阶导数并没有用绝对值，因为在边缘处，有符号相反的二阶导数值，可以强化这个边缘的对比度。如下图所示：

我们看到，原图像与二阶导数图像合并后，在灰度均匀或灰度缓慢变化的地方，图像并没有任何改变；但在灰度突变的边缘处，原来是100和50的灰度差别，现在是150和10的灰度差别，对比度增强了很多。

因为二阶导数产生了一个像素宽的双边缘，且2个边缘的二阶导数值符号相反，因此在合并图像时，就要考虑符号的问题，不然就适得其反。如果像一阶导数那样，使用了绝对值，那么这种双边缘的对比反差就没有了，所以二阶导数也就没有使用绝对值。

一般来说，二阶导数比一阶导数获得的物体边界更加细致。但是，显而易见的，二阶导数对噪声点也更加敏感，会放大噪声的影响。看看下图就明白了：

在一片灰度均匀的区域，有一个噪声点，经过二阶导数处理后，噪声点更加孤立明显了，尤其在这些灰度平滑区域更加的显眼，噪声被放大了。

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