单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法

单偶阶、双偶阶幻方的巧妙填法

人气：150 ℃时间：2019-12-07 19:18:09

优质解答

一、双偶幻方的解法

能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方,如8阶、12阶、16阶等,双偶幻方用Spring法、Strachey法生成.

1、Spring法生成双偶幻方：

方法就是两句话：顺序填数,以中心点对称互换数字.

第一步,顺序填数；

简单地说,就是1放在幻方的任意一个角格,然后按同一个方向按顺序依次填写其余数.

以8阶幻方为例,顺序填数.如下所示：

1\x092\x093\x094\x095\x096\x097\x098

9\x0910\x0911\x0912\x0913\x0914\x0915\x0916

17\x0918\x0919\x0920\x0921\x0922\x0923\x0924

25\x0926\x0927\x0928\x0929\x0930\x0931\x0932

33\x0934\x0935\x0936\x0937\x0938\x0939\x0940

41\x0942\x0943\x0944\x0945\x0946\x0947\x0948

49\x0950\x0951\x0952\x0953\x0954\x0955\x0956

57\x0958\x0959\x0960\x0961\x0962\x0963\x0964

等等等等,共有8种方法.(以下我只以一种为例讲解.其余方法相同)

第二步,以中心点对称互换数字；

对称互换的方法有两种：

方法一；将左上区域i+j(i行、j列)为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.(保证不同时为奇或偶即可.)

64\x092\x0962\x094\x095\x0959\x097\x0957

9\x0955\x0911\x0953\x0952\x0914\x0950\x0916

48\x0918\x0946\x0920\x0921\x0943\x0923\x0941

25\x0939\x0927\x0937\x0936\x0930\x0934\x0932

33\x0931\x0935\x0929\x0928\x0938\x0926\x0940

24\x0942\x0922\x0944\x0945\x0919\x0947\x0917

49\x0915\x0951\x0913\x0912\x0954\x0910\x0956

8\x0958\x096\x0960\x0961\x093\x0963\x091

或,

1\x0963\x093\x0961\x0960\x096\x0958\x098

56\x0910\x0954\x0912\x0913\x0951\x0915\x0949

17\x0947\x0919\x0945\x0944\x0922\x0942\x0924

40\x0926\x0938\x0928\x0929\x0935\x0931\x0933

32\x0934\x0930\x0936\x0937\x0927\x0939\x0925

41\x0923\x0943\x0921\x0920\x0946\x0918\x0948

16\x0950\x0914\x0952\x0953\x0911\x0955\x099

57\x097\x0959\x095\x094\x0962\x092\x0964

完成幻方,幻和值260.

方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上(或非对角线上)的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.

下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.

64\x092\x093\x0961\x0960\x096\x097\x0957

9\x0955\x0954\x0912\x0913\x0951\x0950\x0916

17\x0947\x0946\x0920\x0921\x0943\x0942\x0924

40\x0926\x0927\x0937\x0936\x0930\x0931\x0933

32\x0934\x0935\x0929\x0928\x0938\x0939\x0925

41\x0923\x0922\x0944\x0945\x0919\x0918\x0948

49\x0915\x0914\x0952\x0953\x0911\x0910\x0956

8\x0958\x0959\x095\x094\x0962\x0963\x091

下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.

1\x0963\x0962\x094\x095\x0959\x0958\x098

56\x0910\x0911\x0953\x0952\x0914\x0915\x0949

48\x0918\x0919\x0945\x0944\x0922\x0923\x0941

25\x0939\x0938\x0928\x0929\x0935\x0934\x0932

33\x0931\x0930\x0936\x0937\x0927\x0926\x0940

24\x0942\x0943\x0921\x0920\x0946\x0947\x0917

16\x0950\x0951\x0913\x0912\x0954\x0955\x099

57\x097\x096\x0960\x0961\x093\x092\x0964

2、Strachey法生成双偶幻方

第一步,将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方.

A C

D B

A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方；

将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方.将其等分为四个2×2阶偶数幻方,即4阶偶数幻方.

16\x092\x093\x0913\x0948\x0934\x0935\x0945

5\x0911\x0910\x098\x0937\x0943\x0942\x0940

9\x097\x096\x0912\x0941\x0939\x0938\x0944

4\x0914\x0915\x091\x0936\x0946\x0947\x0933

64\x0950\x0951\x0961\x0932\x0918\x0919\x0929

53\x0959\x0958\x0956\x0921\x0927\x0926\x0924

57\x0955\x0954\x0960\x0925\x0923\x0922\x0928

52\x0962\x0963\x0949\x0920\x0930\x0931\x0917

第三步,在A每行取m个小格(一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可),将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行.

对于8阶幻方,A每行取2个小格(一侧对角线格为必换格,其余1格只要不是另一侧对角线格即可),要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行.

最简单的方法就是：A任意2列,与D相对应的2列互换,C任意2列,与B相对应的2列互换即可.

64\x0950\x093\x0913\x0948\x0934\x0919\x0929

53\x0959\x0910\x098\x0937\x0943\x0926\x0924

57\x0955\x096\x0912\x0941\x0939\x0922\x0928

52\x0962\x0915\x091\x0936\x0946\x0931\x0917

16\x092\x0951\x0961\x0932\x0918\x0935\x0945

5\x0911\x0958\x0956\x0921\x0927\x0942\x0940

9\x097\x0954\x0960\x0925\x0923\x0938\x0944

4\x0914\x0963\x0949\x0920\x0930\x0947\x0933

或

64\x0950\x093\x0913\x0932\x0918\x0935\x0945

53\x0959\x0910\x098\x0921\x0927\x0942\x0940

57\x0955\x096\x0912\x0925\x0923\x0938\x0944

52\x0962\x0915\x091\x0920\x0930\x0947\x0933

16\x092\x0951\x0961\x0948\x0934\x0919\x0929

5\x0911\x0958\x0956\x0937\x0943\x0926\x0924

9\x097\x0954\x0960\x0941\x0939\x0922\x0928

4\x0914\x0963\x0949\x0936\x0946\x0931\x0917

等等完成幻方,幻和值260.

二、单偶幻方的解法

单偶幻方用Strachey法完成：将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.

A C

D B

A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；

【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方,以下同】

8\x091\x096\x0926\x0919\x0924

3\x095\x097\x0921\x0923\x0925

4\x099\x092\x0922\x0927\x0920

35\x0928\x0933\x0917\x0910\x0915

30\x0932\x0934\x0912\x0914\x0916

31\x0936\x0929\x0913\x0918\x0911

在A每行取m个小格(中心格及一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可),也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格,其他行左侧边缘取m个小格,将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换.

6阶幻方就是4*1+2,那么m就是1.在A中间一行取中心格1个小格,其他行左侧边缘取1个小格,将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换(6阶幻方m-1=0,则不用互换).如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

35\x091\x096\x0926\x0919\x0924

3\x0932\x097\x0921\x0923\x0925

31\x099\x092\x0922\x0927\x0920

8\x0928\x0933\x0917\x0910\x0915

30\x095\x0934\x0912\x0914\x0916

4\x0936\x0929\x0913\x0918\x0911

每一行,每一列,对角线的和值(称为幻和值)为111.

一个n阶幻方幻和值公式为：

Nn=1/2xn(n2+1)

【注：n2是n的平方】

N6=1/2x6x(36+1)=111

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