一、 50 % 50\% 50% 概率

先考虑一个最简单的情形，即生成的布尔型张量中，每个元素等于 True 的概率都为 50 % 50\% 50%。

思路很简单，我们只需创建两个形状相同的整型张量，里面的元素非 0 0 0 即 1 1 1，然后判断它们是否相等：

def randbool(*size):return torch.randint(2, size) == torch.randint(2, size)

例如：

print(randbool(3, 3))
# tensor([[False, False, False],
#         [False,  True,  True],
#         [ True, False,  True]])

这是因为，对于每一个元素，它在第一个张量中的取值只有两种可能： 0 0 0 或 1 1 1，在第二个张量中的取值也只有两种可能： 0 0 0 或 1 1 1，因此共有四种情形：

0 = = 0 ⇒ True 0 = = 1 ⇒ False 1 = = 0 ⇒ False 1 = = 1 ⇒ True \begin{aligned} 0 ==0\Rightarrow\;& \text{True} \\ 0 ==1\Rightarrow\; &\text{False} \\ 1==0\Rightarrow\; &\text{False} \\ 1==1\Rightarrow\; &\text{True} \\ \end{aligned} 0==0⇒0==1⇒1==0⇒1==1⇒TrueFalseFalseTrue

可以看出 True 的概率为 2 / 4 = 0.5 2/4=0.5 2/4=0.5。

我们还可以通过程序来验证 True 的概率：

s = 0
for i in range(10 ** 5):s += randbool(4, 4).sum().item()
s = s / 10 ** 5
print(s / 16)
# 0.499908125

将其封装成函数便于之后使用

def true_prob(fun):s = 0for i in range(10 ** 6):s += fun(10, 10).sum().item()return s / 10 ** 8

二、 1 / 3 1/3 1/3 概率

再来考虑一个也比较简单的情形，即生成的布尔型张量中，每个元素等于 True 的概率都为 1 / 3 1/3 1/3。

假设对于每一个元素，它在第一个张量中的取值只有两种可能： 0 , 1 0,1 0,1，但在第二个张量中的取值有三种可能： 0 , 1 , 2 0,1,2 0,1,2，因此共有六种情形：

0 = = 0 ⇒ True 0 = = 1 ⇒ False 0 = = 2 ⇒ False 1 = = 0 ⇒ False 1 = = 1 ⇒ True 1 = = 2 ⇒ False \begin{aligned} 0 ==0\Rightarrow\;& \text{True} \\ 0 ==1\Rightarrow\; &\text{False} \\ 0==2\Rightarrow\; &\text{False} \\ 1==0\Rightarrow\; &\text{False} \\ 1==1\Rightarrow\; &\text{True} \\ 1==2\Rightarrow\; &\text{False} \\ \end{aligned} 0==0⇒0==1⇒0==2⇒1==0⇒1==1⇒1==2⇒TrueFalseFalseFalseTrueFalse

可以看出 True 的概率为 2 / 6 = 1 / 3 2/6=1/3 2/6=1/3。

代码实现如下：

def randbool(*size):return torch.randint(2, size) == torch.randint(3, size)

验证：

print(true_prob(randbool))
# 0.33325818

三、任意概率

有没有可能指定 True 的概率为任意概率 p p p 呢？

答案是可以的，不过我们先来解释一下为什么之前的方法会行不通。

假设第一个张量的取值范围为 0 , 1 , ⋯ , m − 1 0,1,\cdots,m-1 0,1,⋯,m−1，第二个张量的取值范围为 0 , 1 , ⋯ , n − 1 0,1,\cdots,n-1 0,1,⋯,n−1，则总共会产生 m n mn mn 个判断条件，而这 m n mn mn 个判断条件里只有 min ⁡ ( m , n ) \min(m,n) min(m,n) 个为 True，因此 True 的概率为

P ( True ) = min ⁡ ( m , n ) m n = { 1 n , m ≤ n 1 m , m > n = 1 max ⁡ ( m , n ) P(\text{True})=\frac{\min(m,n)}{mn}= \begin{cases} \frac1n, &m\leq n \\ \frac1m, &m>n \\ \end{cases}=\frac{1}{\max(m,n)} P(True)=mnmin(m,n)={n1,m1,m≤nm>n=max(m,n)1

∀ p ∈ ( 0 , 1 ) \forall p\in(0,1) ∀p∈(0,1)，令 P ( True ) = p P(\text{True})=p P(True)=p，则有 max ⁡ ( m , n ) = 1 p \max(m,n)=\frac1p max(m,n)=p1，左边是整数，右边是浮点数，因此无法建立相等关系。即使对右边取整，我们也无法良好地去逼近这个概率 p p p。

例如，取 p = 0.7 p=0.7 p=0.7，则 1 p ≈ 1.428 \frac1p\approx 1.428 p1≈1.428，对其取整后为 1 1 1 或 2 2 2，此时令 max ⁡ ( m , n ) \max(m,n) max(m,n) 为 1 1 1 或 2 2 2，则 P ( True ) P(\text{True}) P(True) 为 0.5 0.5 0.5 或 1 1 1，与真实的 0.7 0.7 0.7 相差甚远。

对于以上情形，只有当 p p p 充分小时才能良好地近似 p p p，而我们希望的是 ∀ p ∈ ( 0 , 1 ) \forall p\in(0,1) ∀p∈(0,1) 都能有良好的近似。为此考虑不再将张量中每个元素的值限定为整数，而是将其放松至 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 区间内的浮点数。对于每个元素，如果其值小于 p p p，则将该元素设置为 True，否则为 False，如下：

def randbool(size, p=0.5):return torch.rand(*size) < pdef true_prob(fun):s = 0for i in range(10 ** 6):s += fun((10, 10), 0.7).sum().item()return s / 10 ** 8print(true_prob(randbool))
# 0.69995753

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