阵列信号处理-波达方向DOA-子空间方法

前言
子空间和子空间数据模型
- 子空间
- 子空间数据模型
- 子空间模型的参数估计
- - 1.参数建模
  - 信号采样
  - 参数估计
- DOA 估计问题
- - Deterministic maximum likelihood方法
  - Beam forming方法
MUSIC和ESPRIT
- MUSIC
SRP-PHAT
CSSM
WAVES
TOPS
FRIDA
术语和约定-notational conventions
- ARMA
- FSD
- low-rank && full-rank
- azimuth and elevation angles
- wavefronts：planar or curvature
- complex：in-phase and quadrature
- coherent & incoherent
- covariance协方差
- 协方差矩阵
- 特征向量、特征值
- Tr. 矩阵的迹
- Maximum likelihood estimation
- Singular Value Decomposition（奇异值分解）
参考文献

前言

波达方向-Direction Of Arrival是研究波束形成的重要课题，引用之前的老图，DOA要估算出来的就是两个角度：俯仰角φ\varphiφ和方位角θ\thetaθ，而如果是全向麦克风组成的线性阵列（z轴），那么方位角就可以省略了，只研究俯仰角就可以了，所以很多算法简化假设条件，然而实际中无法省略，不过可以通过阵列的摆放，设计的估算角度范围小一些，算法也会容易一些。

经典的DOA估算方法有波束形成测向方法（base），Capon最小功率估计器，ML极大似然估计器，MUSIC 多重信号分类方法，ESPRIT旋转不变量信号参数估计方法，随着时代进步，开源代码提供了丰富晚上的功能，本文跟随pyroomacoustic实现的方法，在参考文献中找出来这些神作，学习记录，以备后用。要研究这些算法，我们必须先了解一下子空间的基础知识。

子空间和子空间数据模型

说句题外话，我已经记不起来大学里学没学过这个概念了，不过在科幻电影主导荧幕的21世纪，提到多维空间的子空间是神秘而且令人兴奋的。只是线代里的子空间定义非常滴扼要，以至于看完了概念仍然一头雾水，尽管如此还是现学现卖了抄写一下公式吧。

子空间

【from 百度百科】假设设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。
换句话讲，V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：
（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；
（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。
用直观的概念来理解，就是三维坐标中，任意由两个轴组成的平面即是这三维空间的二维子空间，所以多维空间中，子空间也有很多性质，都可以用三维空间来联想一下，方便记忆和理解。

子空间数据模型

【9】将阵列信号看成矩阵AAA的参数估计问题，假设：
x(t)=A(η)s(t)+n(t)x(t)= \mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})s(t)+n(t) x(t)=A(η)s(t)+n(t)
这里先重新声明一下变量的意义和所属集合：
x(t)∈CMx(t)\in \Bbb{C}^Mx(t)∈CM，可以理解为有M个传感器变换的矩阵，在ttt时刻采集到的信号；
s(t)∈Cks(t)\in \Bbb{C}^ks(t)∈Ck，是远场输入的k个信号，n(t)∈CMn(t)\in \Bbb{C}^Mn(t)∈CM是加性噪声；
A∈CM×k\mathbf{A}\in \Bbb{C}^{M\times k}A∈CM×k是转换矩阵，假设在观测窗内具有时不变特性，而η∈Rq\boldsymbol{\eta}\in \Bbb{R}^qη∈Rq是决定这个矩阵的参数向量，如果是线阵理想的情况，就是入射角θ\thetaθ。
另外分析此类问题，还是离不开假设：

A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)在观测周期时不变；
模型在 A\mathbf{A}A和sss上满足双线性（bilinear）；
加性噪声；

基于以上所有的假设和定义，那么当k<Mk<Mk<M，或者说入射信号数量少于观测传感器数量的情况，那么信号x(t)∈CMx(t)\in \Bbb{C}^Mx(t)∈CM能够被压缩到CM\Bbb{C}^MCM一个kkk维子空间Ck\Bbb{C}^kCk，这个子空间被称为“信号子空间”。而噪声被假设为在所有维度上都有能量分布的，所以，此时阵列信号公式可以理解为满秩（full-rank）噪声数据模型所污染的低秩（low-rank）信号，这就是基于子空间的数据模型定义。
这个模型的几何意义，可以用三维坐标来说明，下图引自知乎上的博文：

如果x(t)∈C3x(t)\in \Bbb{C}^3x(t)∈C3被变换到子空间C2\Bbb{C}^2C2子空间来分析，那么弥散在整个三维空间的噪声大部分被降维规避了，分布于C2\Bbb{C}^2C2上的噪声能量势必远小于整个三维空间。

子空间模型的参数估计

本段基本翻译理解【9】，基于子空间模型的参数估计大致分三步：

1.参数建模

\quad建模一个参数η\boldsymbol{\eta}η的估计向量η=[η1,...,ηk]\boldsymbol{\eta}=[\boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_k]η=[η1,...,ηk]由（列）向量组成（矩阵）A(η)=[a(η1),...,a(ηk)]\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})=[\boldsymbol{a(\eta_1}),..., \boldsymbol{a(\eta_k})]A(η)=[a(η1),...,a(ηk)] A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)中的列向量a(ηk)\boldsymbol{a(\eta_k})a(ηk)表示为第kkk个信号源的响应，线阵的方向列向量a(θk)=[1,e−j2πdsinθk/λ0,..e−j2π(M−1)dsinθk/λ0]a(\theta_k)=[1,e^{−j2πdsinθk/λ0},..e^{−j2π(M−1)dsinθk/λ0}]a(θk)=[1,e−j2πdsinθk/λ0,..e−j2π(M−1)dsinθk/λ0]就是在线阵DOA估计中的一个实例。而一般情况下，ηk\boldsymbol{\eta_k}ηk本身也是多维向量，有可能包含坐标信息，信号载波频率等等，从算法上只要这个向量的维度（假设ppp）小于阵元数量MMM，那么a(ηk)\boldsymbol{a(\eta_k})a(ηk)能够在CM\Bbb{C}^MCM空间中，以ηk\boldsymbol{\eta_k}ηk作为变量，绘制一个ppp维曲面，这个曲面被叫做阵列流形。数学上定义如下为A={a(ηk):η∈Θ}\mathscr{A}=\{\boldsymbol{a(\eta_k}): \boldsymbol{\eta} \in \boldsymbol{\Theta}\}A={a(ηk):η∈Θ}这里Θ\boldsymbol{\Theta}Θ是参数向量所有可能取值的集合。很显然线阵的DOA情况p=1p=1p=1，ηk=θk\boldsymbol{\eta_k}=\theta_kηk=θk，那么A\mathscr{A}A是一个一维的曲线，这个曲线向绳子一样贯穿整个CM\Bbb{C}^MCM空间，在【9】中有一个图示如下：

从几何上来看，窄带DOA估计问题可以理解为流形和信号子空间的交汇的地方（懵懂中），这就是我们期望的估计点。

一般情况下，如果A\mathscr{A}A是确定的（unambiguous），并且阵元的个数MMM多于信源的个数kkk,那么矩阵A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)将是一个k维满秩的矩阵。集合阵元X\mathit{X}X和信源S\mathit{S}S的信号向量可以定义：X=A(η)S\mathit{X}=\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})\mathit{S}X=A(η)S按照子空间的理论，这个瞬间观察值（snapshot）是矩阵A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)列的线性组合，或者说是每次观测都被限定在CM\Bbb{C}^MCM的kkk维子空间，这个子空间是被A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)的kkk列所定义的。而如果信源S\mathit{S}S本身是满秩的（kkk），那么A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)的生成子空间将等价于A\mathbf{A}A的生成子空间span(A)=span(A(η))span(\mathbf{A})=span(\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta}))span(A)=span(A(η))，那么对阵元的观察向量X\mathit{X}X将填满这个低秩子空间，为后面的矩阵参数估计提供了数学假设和基础。在加入了零均值加性噪声之后的阵元信号X=A(η)S+N\mathit{X}=\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})\mathit{S}+\mathit{N}X=A(η)S+N

噪声就像鬼魂一样无处不在，看不见摸不着。但如鬼最好画，噪声也被各路大神描绘的惟妙惟肖，在这里将噪声假设成复稳态循环高斯随机过程，采样点之间完全不相关，以及空间协方差矩阵被定义为σ2Σ=ξ{n(t)n∗(t)}\sigma^2\Sigma=\boldsymbol{\xi}\{n(t)n^*(t)\}σ2Σ=ξ{n(t)n∗(t)} ，这样来表示噪声的数学期望，Σ\SigmaΣ是归一化的矩阵即行列式det(Σ)=1det(\Sigma)=1det(Σ)=1，σ2\sigma^2σ2表示的噪声能量。更大胆的假设是空间白噪声，那么用单位阵III直接替代Σ\SigmaΣ。
\quad开完了噪声的玩笑，但引入噪声后的实际信号向量会变得满秩，就是无法用低秩序列来直接表征了。如果说不考虑噪声的情况，利用N≥kN\geq kN≥k个数据向量所定义的信号子空间，寻找阵列流形和子空间的焦点作为解决方案。当噪声进来以后，就是要从数据中估计出来信号子空间，进而得到η\etaη，让生成的阵列流形最佳适配这个估计。实值上，带噪信号的处理效率是子空间方法的关键问题。接下来我们看看带噪的子空间估计（SVD方法此处被提到），阵列协方差矩阵RXX\boldsymbol{R}_{XX}RXX可以被写成RXX=E[XX∗]=A(η)RSSA∗(η)+σ2I\boldsymbol{R}_{XX}=\boldsymbol{E}[{XX^*}]=\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})\boldsymbol{R}_{SS}\mathbf{A}^*(\boldsymbol{\eta})+\sigma^2\mathbf{I}RXX=E[XX∗]=A(η)RSSA∗(η)+σ2I这里RSS=E[SS∗]\boldsymbol{R}_{SS}=\boldsymbol{E}[{SS^*}]RSS=E[SS∗]是信源协方差矩阵，这个矩阵是无法测量的，但从前面的推导，可以看出A(η)RSSA∗(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})\boldsymbol{R}_{SS}\mathbf{A}^*(\boldsymbol{\eta})A(η)RSSA∗(η)这个矩阵有一个低秩的特点，因为信源的个数也是茫然的，所以假设这是一个秩为d′<Md^{\prime}<Md′<M的矩阵，通过特征值分解（eigendecomposition）得出RXX=∑k=1Mλkekek∗\boldsymbol{R}_{XX}=\sum_{k=1}^M\lambda_ke_ke_k^*RXX=k=1∑Mλkekek∗
λ1>λ2>.....λM\quad\lambda_1>\lambda_2>.....\lambda_Mλ1>λ2>.....λM为特征值，{ek}\{e_k\}{ek}是相对应的特征向量。根据RXX=A(η)RSSA∗(η)+σ2I\boldsymbol{R}_{XX}=\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})\boldsymbol{R}_{SS}\mathbf{A}^*(\boldsymbol{\eta})+\sigma^2\mathbf{I}RXX=A(η)RSSA∗(η)+σ2I公式，RXX\boldsymbol{R}_{XX}RXX是有一个秩为d′d^{\prime}d′的矩阵再加上一个定标的单位阵，这样会让你容易的推算出最后的M−d′M-d^\primeM−d′个特征值是非常小的，即λd′+1=λd′+2=.....λM=σ2\lambda_{d^\prime+1}=\lambda_{d^\prime+2}=.....\lambda_M=\sigma^2λd′+1=λd′+2=.....λM=σ2，由此，定义ES=[e1,e2,...ed′]\boldsymbol{E_S}=[e_1,e_2,...e_{d^{\prime}}]ES=[e1,e2,...ed′]为信号子空间，和定义EN=[ed′+1,ed′+2,...eM]\boldsymbol{E_N}=[e_{d^{\prime}+1},e_{d^{\prime}+2},...e_M]EN=[ed′+1,ed′+2,...eM]作为噪声子空间，这两个空间是正教的（orthogonal complement）。而信号子空间包含于A(η)\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta})A(η)的生成空间。到此，基于子空间估计的建模算是推导完毕。

信号采样

在测量空间，采样获取信号子空间的估计值A^\hat\mathbf{A}A^；实际中我们是估计R^XX\boldsymbol{\hat R}_{XX}R^XX，那么基于N次采样的估计公式为R^XX=1N∑t=1Nx(t)x∗(t)\boldsymbol{\hat R}_{XX}=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx(t)x^*(t)R^XX=N1t=1∑Nx(t)x∗(t)经过特征分解后的(λ^k,e^k),1≤k≤M(\hat \lambda_k, \hat e_k), 1\leq k\leq M(λ^k,e^k),1≤k≤M是R^XX\boldsymbol{\hat R}_{XX}R^XX的特征对，其中对最大的特征值进行保存，形成了信号子空间的持续估计，而信号子空间的维度也是基于特征值分布得到的。经典的方法有似然比（ikelihood ratio），MDL(minimum description length)和AIC(akaike information criterion)。到此可以看出计算矩阵的特征值分解将是最大的负担。

参数估计

估计一组参数η^\hat\boldsymbol{\eta}η^，使得 A(η^)\mathbf{A}(\hat\boldsymbol{\eta})A(η^)能够从某个层面最好的匹配A^\hat\mathbf{A}A^；但这个η^\hat\boldsymbol{\eta}η^如何与A^\hat\mathbf{A}A^建立联系，最终得到一直想要却还没出现的DOA呢？

DOA 估计问题

了解了子空间的概念和一般的分析方法，这些方法可以用在估算信号的方向、波长、频率、幅度，甚至利用多普勒频移估算信号的速度。而用在DOA上，是如何建模的呢？这种方法叫做子空间拟合（subspace fitting）。【9】子空间拟合办法就是一个公式[A^,T^]=arg⁡min⁡A,T∣∣M−A(η)T∣∣F2\left [\hat \mathbf A,\hat \mathbf T\right]=\arg \min\limits_{A,T} ||\mathbf M-\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta}) \mathbf T||^2_F[A^,T^]=argA,Tmin∣∣M−A(η)T∣∣F2相比于之前的一堆公式，多出来的MMM是一个m×qm\times qm×q矩阵，这个矩阵要从采样数据中重建。m×pm\times pm×p的矩阵是利用η\etaη参数化的，联想一下线阵的角向量。T\mathbf TT是一个任意p×qp\times qp×q矩阵，其中一个办法是替换一个T^=A†M\hat \mathbf T=\mathbf A^ \dagger \mathbf MT^=A†M，那个奇怪的符号表示conjugate transpose，又称埃尔米特共轭。用这个替换重新获得一个等价的问题A^=arg⁡max⁡ATr{PAMM∗},PA=A(A∗A)−1A∗\hat \mathbf A=\arg \max\limits_{A}Tr\{P_AMM^*\}, P_A=A(A^*A)^{-1}A^*A^=argAmaxTr{PAMM∗},PA=A(A∗A)−1A∗PAP_APA叫做投影矩阵，投影到A\mathbf AA的列空间。
\quad矩阵MMM的选择和包含A\mathbf AA的集合就成了解决子空间拟合的基本问题，在【9】中有一个概括的表格，比较了各种子空间拟合方法：
M&A{A∈Ad}{A∈A}{A∈ξ}MM∗=R^XXDet−MLBeamformingML−ESPRITM=E^SMD−MUSICMUSICTLS−ESPRITM=E^SWopt1/2WSFWeightedMUSICWeightedESPRIT\begin{array}{c|lcr} {M\&A} & \{A\in\mathscr{A}^d\} & \{A\in\mathscr{A}\} & \{A\in\boldsymbol{\xi}\}\\ \hline MM^*=\boldsymbol{\hat R}_{XX} & Det-ML & Beamforming & ML-ESPRIT \\ M=\hat E_S & MD-MUSIC & MUSIC & TLS-ESPRIT \\ M= \hat E_SW_{opt}^{1/2}& WSF & Weighted\ MUSIC & Weighted\ ESPRIT \end{array} M&AMM∗=R^XXM=E^SM=E^SWopt1/2{A∈Ad}Det−MLMD−MUSICWSF{A∈A}BeamformingMUSICWeighted MUSIC{A∈ξ}ML−ESPRITTLS−ESPRITWeighted ESPRIT

Deterministic maximum likelihood方法

这种方法不是基于统计模型设计的，这样数据阵XNX_NXN最大化似然函数被认为是这样一个等价问题min⁡η,SNTr{(XN−A(η)SN)∗(XN−A(η)SN)}=min⁡η,SN∣∣(XN−A(η)SN)∣∣F2\min\limits_{\eta,S_N}Tr\{(X_N-\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta}) \mathbf S_N)^*(X_N-\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta}) \mathbf S_N)\}=\min\limits_{\eta,S_N}||(X_N-\mathbf{A}(\boldsymbol{\eta}) \mathbf S_N)||_F^2η,SNminTr{(XN−A(η)SN)∗(XN−A(η)SN)}=η,SNmin∣∣(XN−A(η)SN)∣∣F2一般认为SNS_NSN是确定的，只是未知，所以假设S^N=A†XN\hat \mathbf S_N=\mathbf A^ \dagger \mathbf X_NS^N=A†XN。代入上式替换SN\mathbf S_NSN，经过推导（我寄几是推不出来）最后得出优化问题的公式η^=arg⁡max⁡ηTr{PA(η)R^XX}\hat \mathbf {\eta}=\arg \max\limits_{\eta}Tr\{ \boldsymbol{P_{A(\eta)}}\boldsymbol{\hat R}_{XX}\}η^=argηmaxTr{PA(η)R^XX}, R^XX=samplecovariancematrix\boldsymbol{\hat R}_{XX}=sample\ covariance\ matrixR^XX=sample covariance matrix。这个方法是上面表格的第一个方法，计算负担很重，实际用的已经不多。

Beam forming方法

这里是指传统的’delay-and-sum method’，核心思想就是寻找加权输出的最大功率角度，阵列会扫描所有可能的方向已获得最优解。从公式的角度是取建模归一化的输出功率P(ηj)P(\eta_j)P(ηj)，利用列向量a(ηj)a(\eta_j)a(ηj)以及矩阵方法求解P(ηj)=1N∑t=1N∣a∗(ηj)x(t)∣2∣a(ηj)∣2=a∗(ηj)R^XXa(ηj)a∗(ηj)a(ηj)=Tr{Pa(ηj)R^XX}P(\eta_j)=\frac{1}{N}\sum_{t=1}^N\frac{|a^*(\eta_j)x(t)|^2}{|a(\eta_j)|^2}=\frac{a^*(\eta_j)\hat R_{XX}a(\eta_j)}{a^*(\eta_j)a(\eta_j)}=Tr\{ \boldsymbol{P_{a(\eta_j)}}\boldsymbol{\hat R}_{XX}\}P(ηj)=N1t=1∑N∣a(ηj)∣2∣a∗(ηj)x(t)∣2=a∗(ηj)a(ηj)a∗(ηj)R^XXa(ηj)=Tr{Pa(ηj)R^XX}，Pa(ηj)=a(a∗a)−1a∗P_{a(\eta_j)}=a(a^*a)^{-1}a^*Pa(ηj)=a(a∗a)−1a∗，最大功率方向就是DOA的方向。比较DML方法，如果信源只有一个，两种方法是等价的；而分离度比较好的声源，两者的估计也相当。而要分辨靠得很近的声源辐射，阵列孔径的音素不得不考虑。

MUSIC和ESPRIT

Multiple Signal Classification多信号分类方法是最经典的空间谱估计方法，也是在加性噪声环境下成功的构建数据模型的第一个高精度算法。而Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques 则对MUSIC的精度和限制进行了改进，有人戏称ESPRIT是MUSIC的儿子【8】，两者都是以子空间（subspace）技术为基础的方法，认为信号和噪声是在不同的子空间。pyroomacoustic没有采用ESPRIT，猜想是因为MUSIC本身的稳定性和鲁棒性更好一些。

MUSIC

“音乐”方法是1981年Ralph Otto Schmidt在斯坦福的博士论文《A Signal Subspace Approach to Multiple Emmitter Location and Spectral Estimation》提出来的方法，距今已经有40年了。他在Multiple emitter location and signal parameter estimation文章里有算法的经典推导过程。

SRP-PHAT

Steered Response Power – Phase Transform

CSSM

Coherent Signal Subspace Method

WAVES

Weighted Average of Signal Subspaces

TOPS

Test of Orthogonality of Projected Subspaces

FRIDA

Finite Rate of Innovation Direction of Arrival

术语和约定-notational conventions

ARMA

Autoregressive moving average model 自回归滑动平均模型，是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。

FSD

fast subspace decomposition

low-rank && full-rank

azimuth and elevation angles

方位角和仰角

wavefronts：planar or curvature

complex：in-phase and quadrature

coherent & incoherent

covariance协方差

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。（摘自百度百科）

协方差矩阵

统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。

特征向量、特征值

Tr. 矩阵的迹

Maximum likelihood estimation

似然和概率是鸡和蛋的问题，在给定条件θ\thetaθ下计算事件出现的概率可以表达为P(x∣θ)P(x|\theta)P(x∣θ)，而根据事件发生的概率（结果）反推出条件就是似然的过程L(θ∣x)\mathcal{L}(\theta|x)L(θ∣x)，所以最大似然估计是利用已知的样本的结果，在使用某个模型的基础上，反推最有可能导致这样结果的模型参数值。很显然求解DOA的过程也可以利用最大似然估计的办法。

Singular Value Decomposition（奇异值分解）

参考文献

【1】.R. Schmidt, Multiple emitter location and signal parameter estimation, IEEE Trans. Antennas Propag., Vol. 34, Num. 3, pp 276–280, 1986
【2】.J. H. DiBiase, A high-accuracy, low-latency technique for talker localization in reverberant environments using microphone arrays, PHD Thesis, Brown University, 2000
【3】.H. Wang, M. Kaveh, Coherent signal-subspace processing for the detection and estimation of angles of arrival of multiple wide-band sources, IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Process., Vol. 33, Num. 4, pp 823–831, 1985
【4】.E. D. di Claudio, R. Parisi, WAVES: Weighted average of signal subspaces for robust wideband direction finding, IEEE Trans. Signal Process., Vol. 49, Num. 10, 2179–2191, 2001
【5】.Y. Yeo-Sun, L. M. Kaplan, J. H. McClellan, TOPS: New DOA estimator for wideband signals, IEEE Trans. Signal Process., Vol. 54, Num 6., pp 1977–1989, 2006
【6】.H. Pan, R. Scheibler, E. Bezzam, I. Dokmanic, and M. Vetterli, FRIDA: FRI-based DOA estimation for arbitrary array layouts, Proc. ICASSP, pp 3186-3190, 2017
【7】.ESPRIT-Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques
【8】.ESPRIT Algorithm- The Son of MUSIC
【9】Subspace Methods for Directions-of-Arrival, A. Paulraj, B. Ottersten, R. Roy, A. Swindlehurst, G. Xu and T. Kailath
【10】Performance Analysis of MUSIC and ESPRIT DOA Estimation Algorithms for Adaptive Array Smart Antenna in MobileCommunication
【11】Direction-of-Arrival Estimation Methods: APerformance-Complexity Tradeoff Perspective
【】

阵列信号处理笔记-波达方向DOA-子空间方法相关推荐

阵列信号处理仿真二——波束方向图的绘制
均匀加权线阵的频率响应和波束方向图导入频率波束响应Υ(ψ)\Upsilon(\psi)Υ(ψ) 波数方向图波束方向图的幅值在不同方向上的对应关系阵元间距对波束方向图的影响 matlab的绘图代 ...
【阵列信号处理】DOA估计之MUSIC算法
什么是MUSIC算法? 空间谱估计是阵列信号处理中很重要的一部分,而空间谱估计的一个主要内容就是估计空间信号源的方向,即DOA(Direction of arrival)的估计.MUSIC是一种有效的 ...
【阵列信号处理】DOA估计算法
DOA估计中的ESPRIT算法 ESPRIT算法时一种利用子空间旋转法估计DOA参数的方法,其算法的基本思想是将阵列在结构上分成两个完全一致的子列,两个子列相应阵元偏移的距离相等,也就是说阵列的阵元被 ...
阵列信号处理——多重信号分类(MUSIC)
阵列信号处理分为波束形成和波达方向估计两大技术.波达方向估计的代表性方法是高分辨空间谱估计. 功率谱密度描述信号功率随频率的分布,是信号的一种频域表示.由于阵列信号处理的主要任务是信号空间参数(信源的 ...
python实现阵列信号处理（三）：多重信号分类Music算法
文章目录一.概述二.Music算法原理三.python语言实现Music算法四.Tips 一.概述 MUSIC算法是学者 Schmidt 等人 1979 年提出的, 该算法是空间谱估计理论 ...
《阵列信号处理及MATLAB实现》阵列响应矩阵(均匀线阵、均匀圆阵、L型阵列、平面阵列和任意阵列)
2.7 阵列响应矢量/矩阵常用的阵列形式包括均匀线阵.均匀圆阵.L型阵列.平面阵列和任意阵列等. 1.均匀线阵假设接收信号满足窄带条件,即信号经过阵列长度所需的时间应远远小于信号的相干时间,信号 ...
《阵列信号处理及MATLAB实现》信源和噪声模型、阵列天线统计模型
PS:文章内容为本人读书笔记,如想阅读更详细内容请购买正版书籍 2.5 信源和噪声模型 2.5.1 窄带信号如果信号带宽远小于其中心频率,则该信号为窄带信号,即: 其中,为信号带宽,为中心频率.通 ...
【通信】基于非相干信号子空间(ISM)的宽带源DOA估计方法
1 简介智能天线技术作为未来移动通信系统的关键技术之一,是当前通信领域的研究重点.智能天线系统通过天线阵列扩展了空间域,充分利用了空间扩展所提供的资源,能有效提高系统容量.能提供更大带宽和降低多径效 ...
阵列信号处理之常规波束形成基础+matlab仿真（二）
DOA估计的三种常见方法:CBF.MVDR(CAPON).MUSIC 统计阵列处理理论:入射波包含了期望信号.干扰信号和噪声,它们中的部分或者全部都可以看成空时随机过程的样本函数.利用信号.噪声和干扰 ...
基于毫米波的DOA估计方法浅谈
关于毫米波信道的几种建模 <存在相位校准误差的毫米波大规模天线阵列角度估计算法研究(2018)>一文中,将毫米波建模为"带有相位误差的宽带DOA"进行处理. 原因做几点 ...

阵列信号处理笔记-波达方向DOA-子空间方法