最短路径

1. 最短路径定义以及性质

定义：

在一副加权有向图中，从顶点s到顶点t的最短路径是所有从顶点s到顶点t的路径中总权重最小的那条路径。

性质：

路径具有方向性。
权重不一定等于距离。权重可以是距离、时间、花费等内容，权重最小指的是成本最低。
只考虑连通图。一副图中并不是所有的顶点都是可达的，如果s和t不可达，那么它们之间也就不存在最短路径，所以只考虑连通图。
最短路径不一定是唯一的。从一个顶点到达另外一个顶点的权重最小的路径可能会有很多条，所以只需要找出一条即可。

最短路径树：

给定一副加权有向图和一个顶点s，以s为起点的一棵最短路径树是图的一副子图，它包含顶点s以及从s可达的所有顶点。这棵有向树的根结点为s，树的每条路径都是有向图中的一条最短路径。

2. 最短路径树API设计

计算最短路径树的经典算法是dijstra算法

类名	DijkstraSP
构造方法	public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s)：根据一副加权有向图G和顶点s，创建一个计算顶点为s的最短路径树对象
成员方法	1.private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v)：松弛图G中的顶点v 2.public double distTo(int v):获取从顶点s到顶点v的最短路径的总权重 3.public boolean hasPathTo(int v):判断从顶点s到顶点v是否可达 4.public Queue pathTo(int v):查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边
成员变量	1.private DirectedEdge[] edgeTo: 索引代表顶点，值表示从顶点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边(也就是最短路径中的连接上一个顶点的边) 2.private double[] distTo: 索引代表顶点，值从顶点s到当前顶点的最短路径的总权重 3.private IndexMinPriorityQueue pq:存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边

3. 松弛技术

松弛这个词来源于生活：一条橡皮筋沿着两个顶点的某条路径紧紧展开，如果这两个顶点之间的路径不止一条，还有存在更短的路径，那么把皮筋转移到更短的路径上，皮筋就可以放松了。

松弛这种简单的原理刚好可以用来计算最短路径树。

在API中，需要用到两个成员变量edgeTo和distTo，分别存储边和权重。一开始给定一幅图G和顶点s，我们只知道图的边以及这些边的权重，其他的一无所知，此时初始化顶点s到顶点s的最短路径的总权重disTo[s]=0；顶点s到其他顶点的总权重默认为无穷大，随着算法的执行，不断的使用松弛技术处理图的边和顶点，并按一定的条件更新edgeTo和distTo中的数据，最终就可以得到最短路劲树。

边的松弛：

顶点的松弛是基于边的松弛完成的，只需要把某个顶点指出的所有边松弛，那么该顶点就松弛完毕。例如要松弛顶点v，只需要遍历v的邻接表，把每一条边都松弛，那么顶点v就松弛了。

如果把起点设置为顶点0，那么找出起点0到顶点6的最短路径0->2->7>3->6的过程如下:

4.最短路径(Dijstra算法)实现

Disjstra算法的实现和Prim算法很类似，构造最短路径树的每一步都是向这棵树中添加一条新的边，而这条新的边是有效横切边pq队列中的权重最小的边

/*** 最短路径(dijkstra算法)*/
public class DijkstraSP {// 索引代表顶点，值表示从顶点s到当前顶点的最短路径上的最后一条边private DirectedEdge[] edgeTo;// 索引代表顶点，值从顶点s到当前顶点的最短路径的总权重private double[] distTo;// 存放树中顶点与非树中顶点之间的有效横切边private IndexMinPriorityQueue<Double> pq;// 根据一副加权有向图G和顶点s，创建一个计算顶点为s的最短路径树对象public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s) {// 初始化edgeTothis.edgeTo = new DirectedEdge[G.V()];// 初始化distTo，并且初始化数组中的内容为无穷大，无穷大即表示不存在这样的边this.distTo = new double[G.V()];for (int i = 0; i < distTo.length; i++) {distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;}// 初始化有效横切边队列this.pq = new IndexMinPriorityQueue<Double>(G.V());// 默认让顶点s进入队列，但s为最短路径树的根结点，所以初始化数组distTo为0.0distTo[s] = 0.0;pq.insert(s, 0.0);// 遍历有效横切边队列while (!pq.isEmpty()) {// 松弛图G中的顶点relax(G, pq.delMin());}}// 松弛图G中的顶点vprivate void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v) {// 松弛顶点v就是松弛顶点v邻接表中的每一条边，遍历邻接表for (DirectedEdge e : G.adj(v)) {// 获取边e的终点int w = e.to();// 判断起点s到w的总权重与s经过v到w的总权重，如果大于则修正数据if (distTo[w] > distTo[v] + e.weight()) {// 修改s->w的路径edgeTo[w] = e;// 修改s到w的总权重distTo[w] = distTo[v] + e.weight();// 如果顶点w已经存在于优先队列pq中，则重置顶点w的权重if (pq.contains(w)) {pq.changeItem(w, distTo[w]);} else {// 如果顶点w没有出现在优先队列pq中，则把顶点w及其权重加入到pq中pq.insert(w, distTo[w]);}}}}// 获取从顶点s到顶点v的最短路径的总权重public double distTo(int v) {return distTo[v];}// 判断从顶点s到顶点v是否可达public boolean hasPathTo(int v) {return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY;}// 查询从起点s到顶点v的最短路径中所有的边public Queue<DirectedEdge> pathTo(int v) {// 如果顶点s到v不可达，则返回nullif (!hasPathTo(v)) {return null;}// 创建队列Queue保存最短路径的边Queue<DirectedEdge> edges = new Queue<>();// 从顶点v开始，逆向寻找，一直找到顶点s为止，而起点s为最短路劲树的根结点，所以 edgeTo[s]=null;DirectedEdge e = null;while (true) {e = edgeTo[v];if (e == null) {break;}edges.enqueue(e);v = e.from();}return edges;}
}

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