（十九）债券定价与债券收益率的计算

付息/零息债券的定价——基于单一贴现率

一般复利下，债券价格P = ΣC_t/(1+y)^t+F/(1+y)^T；连续复利下，P = ΣC_te^-yt+Fe^-yT，C_t是第t期支付的现金流，F为债券面值，y为贴现率。
例1：一新发行的3年期债券面值1000元，票面利率10%，每半年付息，贴现率10%，求债券价格：

def bp(ct,F,y,t):a=ct/(1+y)**tb=F/(1+y)**len(t)return sum(a,b)
import pandas as pd
y=0.1/2;F=1000;ct=1000*0.1*0.5
t=pd.Series([1,2,3,4,5,6])
bp(ct,F,y,t)
Out[1]: 999.9999999999998#平值债券

例2：一个8年期的零息债券面值1000元，每半年付息，市场年利率8%，求债券价格：

def bp0(F,y,t):b=F/(1+y)**treturn b
y=0.08/2;F=1000;t=8*2
bp0(F,y,t)
Out[2]: 533.9081756858412

例3：“08国开11”债券的面值为100元，期限20年，票面利率5.25%，每半年付息。假定该债券剩余期限10年，贴现率为4.2%（连续复利），求债券今天的价格：

import numpy as np
def bondp(F,r,y,t):#r,y,t均为每一期对应数据a=F*r*np.exp(-y*t)b=F*np.exp(-y*len(t))return sum(a,b)
t=pd.Series(range(1,21))
bondp(100,0.0525/2,0.042/2,t)
Out[3]: 108.12527888522294

付息债券的定价——基于不同期限贴现率

息票剥离法计算零息利率

例4：在国内债券市场，期限在1年以内（不含1年）的短期国债是不带票息的零息债券。根据下表不同期限国债（面值均为100）的信息计算各期限的零息利率（连续复利）：

序号	剩余期限	票面利率	债券价格
1	0.25	0	99.42元
2	0.5	0	98.83元
3	1	2.77%（每年付息）	100.09元
4	1.5	3.46%（半年付息）	101.32元
5	2	2.53%（半年付息）	99.39元

from scipy import optimize
def f(r):r1,r2,r3,r4,r5=rp1,p2,p3,p4,p5=99.42,98.83,100.09,101.32,99.39c3,c4,c5=0.0277,0.0346/2,0.0253/2#注意半年付息的要除以2b1=100*np.exp(-r1*0.25)-p1b2=100*np.exp(-r2*0.5)-p2b3=100*(1+c3)*np.exp(-r3*1)-p3b4=100*(1+c4)*np.exp(-r4*1.5)+c4*100*np.exp(-r3*1)\+c4*100*np.exp(-r2*0.5)-p4b5=100*(1+c5)*np.exp(-r5*2)+c5*100*np.exp(-r4*1.5)\+c5*100*np.exp(-r3*1)+c5*100*np.exp(-r2*0.5)-p5return [b1,b2,b3,b4,b5]
zerorates=optimize.fsolve(f,[0.1,0.1,0.1,0.1,0.1])
zerorates#分别对应0.25,0.5,1,1.5,2年的零息利率
Out[4]: array([0.02326754, 0.02353797, 0.0264237, 0.02541116, 0.028313])

基于不同期限的零息利率给债券定价

不同期限的贴现率不一样，即y也作为一个数组输入，需要用append函数。
例5：有一个剩余期限为1.5年的债券，面值为100元，票面利率3.46%，每半年付息。0.5年、1年、1.5年的零息利率分别为4.7076%，5.2848%，5.0822%（连续复利），求债券今天的价格：

def bond_value(y,t,r,F):cashflow=[]for i in range(len(t)):a=F*r*np.exp(-y[i]*t[i])cashflow.append(a)b=F*np.exp(-y[len(t)-1]*t[len(t)-1])return sum(cashflow)+b
y=pd.Series([0.047076,0.052848,0.050822])*0.5
t=pd.Series([0.5,1,1.5])
bond_value(y,t,0.0346/2,100)
Out[5]: 101.32002263990809

有时我们能够算出的零息利率期限间隔不一样，比如例4中没有0.75年、1.25年、1.75年的债券数据，这时我们就要进行插值处理：

t=np.array([0.25,0.5,1,1.5,2])
T=np.array([0.25,0.5,0.75,1,1.25,1.5,1.75,2])
from scipy.interpolate import interp1d
f=interp1d(t,zerorates,kind='quadratic')
f(T)
Out[6]:
array([0.02326754, 0.02353797, 0.02509468, 0.0264237 , 0.02601105,0.02541116, 0.02617848, 0.028313  ])

计算债券到期收益率（YTM）

例6：有一个剩余期限为5年的债券，面值为100元，票面利率5%，每半年付息。假设该债券的市场价格为98元，求债券的YTM：

from scipy import optimize
def YTM(F,r,t,P):def f(y):#把要求解的方程写出来cashflow=[]for i in range(len(t)):a=F*r*np.exp(-y*t[i])cashflow.append(a)b=F*np.exp(-y*t[len(t)-1])return sum(cashflow)+b-P#此处返回一个等于零的式子return optimize.fsolve(f,0.1)#f是要求解的函数，0.1是猜测解
t=pd.Series(np.linspace(0.5,5,10))
YTM(100,0.025,t,98)
Out[7]: array([0.05389247])

YTM的检查：当债券票面利率c>YTM时，投资人可以获得更多的收益，所以发行方会多收一部分钱，溢价发行；反之债券票面利率c<YTM时，发行方会折价发行来补偿投资者。