方差var、协方差cov、协方差矩阵(浅谈)
原文地址:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_9e67285801010q68.html
前些天看程序,涉及到了关于方差、协方差的内容,由于本人做学问讲究严谨(其实是忘了)特此查阅了相关内容,并试图在matlab中进行小小实验验证,结果,问题来了....
(本来想着立马总结下发出来让大家参考的,最近比较忙一直没有腾出时间来整理,请大家原谅俺吧 )
哦,对了,这篇主要是给小菜鸟看的,大侠们可以尽管放心去走你们的阳关道
以下内容虽并非全部原创,但也是小编精心整理,转载请注明出处:http://blog.sina.com.cn/s/blog_9e67285801010q68.html
由于要介绍基本概念和后面的函数分析、matlab实例比较长,思前想后,决定分成三个部分
下面先看看方差、协方差、协方差矩阵的定义:
方差 variance:
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论与数理统计中,方差(英文Variance)用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数,即s=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2,其中,x_表示样本的平均数,n表示样本的数量,^,xn表示个体,而s就表示方差。
而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时,发现其数学期望并不是X的方差,而是X方差的(n-1)/n倍,[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差,用它作为X的方差的估计具有“无偏性”,所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差,并且把它叫做“样本方差”。(注意:这点很重要)
设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差,而σ(X)=D(X)^0.5(与X有相同的量纲)称为标准差(或均方差)。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。即,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量X取值分散程度的一个尺度。若X的取值比较集中,则方差D(X)较小;若X的取值比较分散,则方差D(X)较大。
…………………………………………………………………………………………………………………………………
协方差 covariance :
在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差,是一个衡量线性独立的无量纲的数。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。
期望值分别为E(X) = μ 与 E(Y) = ν 的两个实数随机变量X与Y之间的协方差定义为:COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] (注:COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) 推导过程为原式做因式分解,神马?你没学过因式分解&¥%@#¥@%&*!!!)
直观上来看,协方差表示的是两个变量总体误差的方差,这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。
如果X与Y是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0,反之则不成立(我偷下懒,这个知识可以回去看看数理统计)
………………………………………………………………………………………………………………………………
协方差矩阵 covariance matrix :
在概率论和统计学中,,协方差矩阵是一个矩阵,其每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量(也就是单维或单值随机变量)到高维度随机向量的自然推广。
假设 X 是以 n 个标量随机变量(看做n个变量)组成的行向量,并且μk 是其第k个元素的期望值, 即, μk = E(Xk), 协方差矩阵然后被定义为: Σ=E{(X-E[X])(X-E[X])T}
(这儿插一句:无论你要求的X样本有多少,假设为m个,求出的协方差矩阵都是n阶方阵)
矩阵中的第(i,j)个元素是变量Xi与变量Xj的协方差. 这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。 尽管协方差矩阵很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis),在图像处理中称为KL-变换。
可能你还是会对协方差矩阵迷迷糊糊的,没关系,表着急,接着往后看
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→→→→→→→二师兄!后面有好多女妖怪.........
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