动态规划之LCS算法

一、前言

LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。
另外还有个分支问题：最长公共子串。子串的字符位置必须连续，而子序列则不必，从原序列中去掉任意的元素获得的新序列。可以看出，子串问题比子序列问题要简单地多，子串必定是子序列，换言之，子串是子序列的子集。如果我们能解决子序列问题，子串问题也迎刃而解。

二、解法

2.1穷举法

穷举法是显而易见第一时间从脑子里蹦出来的想法，实际上代码层面的实现也不困难。提取出A序列的每一个子序列，检查其是否也是B序列的子序列，全部比对完后，比较出最长的一个子序列。
不考虑子序列重复的前提下啊，一个长度为n的序列，其子序列个数为2^n（容易理解，每一项取或不取）。易知其时间复杂度为O(2^n)，指数级复杂度一般来说是不可接受的。
这里的空间复杂度我看一些文章说也是O(2^n)，但是我觉得并不需要存下每一个子序列，每一个A的子序列经验证不是B的子序列后即可丢弃，所以存储的花费并不是所有子序列，而是所有公共子序列。所以我认为空间复杂度没有达到O(2^n),可能是我的理解有问题，如果有懂得观众看到这里，恳请指点一二。

2.2动态规划

记X = [x1,x2,...,xm]和Y = [y1,y2,...,yn]的一个最长公共子序列Z = [z1,z2,...,zk]，则有：
1. 若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
2. 若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
3. 若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1 = [x1, x2, …, xm-1]，Yn-1 = [y1, y2, …, yn-1]，Zk-1 = [z1, z2, …, zk-1]。
第2点和第3点可以合并为，max(LCS(Xm-1,Yn),LCS(Xm,Yn-1))。

2.3矩阵思想解题

记一个二维数组C[]，c[i,j]存储Xi和Yi的最长公共子序列的长度。所以c[m,n]即矩阵最右下角的值为X与Y的最长公共子序列的长度。
虽然我们在递推过程是从序列的尾部开始的，但实际解题是从头部开始的，因为在计算max(LCS(Xm-1,Yn),LCS(Xm,Yn-1))时，需要事先计算出LCS(Xm-1,Yn)和LCS(Xm,Yn-1)，才能比较他们的大小。
1. 先令c[i,0]整一列的值为0，显然任意序列与空序列的最长公共子序列长度为0；同理，令c[0,j]整一行的值为0；
2. 如果当前比较的两个字符xi=yj，令这个格子的c[i,j] = 1。方向为左上角（LeftTop）；
3. 如果当前比较的两个字符xi≠yj，比较c[i-1,j]和c[i,j-1]的值，取其中较大的值填充入c[i,j]中，方向为值的来源方向左（Left）或者上（Top）；
4. 一直迭代运算至二维数组C[]所有格子均有值，结束。
便于理解抄自网络的图：

2.4小结

记录方向是为了构造出最长公共子序列，当然这样的算法有一个局限就是当LCS(Xm-1,Yn) = LCS(Xm,Yn-1)时会出现多解，即最长公共子序列不唯一。这样的情况显然是可预见的，所以在当出现LCS(Xm-1,Yn) = LCS(Xm,Yn-1)时两个方向都得记录，才能恢复出所有的最长公共子序列（如果有需要）。
当然，如果只是为了求得最长公共子序列的长度，方向是不必记录的。连矩阵都可以不用构造，因为c[i,j]的值完全来源于上一行的值，即c[i-1,j-1]、c[i-1,j]、c[i,j-1]三者其中之一，只需要记录矩阵中的两行数据即可，空间复杂度进一步降低。

2.5子问题1——最长公共子串

解决了最长公共子序列问题，最长公共子串就简单地多了。仍然是构造二维矩阵C[]，当xi = yj时，令c[i,j] = c[i-1,j-1],然后矩阵中最大的元素就是最长公共子串的长度。构造最长公共子串也只需要找出最长的一条斜对角线即可。
附Python实现：

def find_lcs_len(input_x, input_y):dp = [([0] * len(input_y)) for i in range(len(input_x))]maxlen = 0for i in range(0, len(input_x)):for j in range(0, len(input_y)):if input_x[i] == input_y[j]:if i != 0 and j != 0:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = 1if dp[i][j] > maxlen:maxlen = dp[i][j]return maxlen

2.6子问题2——最长递增子序列（LIS）

看到这有些人可能会疑惑，最长递增子序列只关系到一个序列。如序列X = [5,8,2,3,9,4,7]的LIS为[2,3,4,7]。而LCS问题是两个序列的公共子序列问题。
其实这里先构造一个辅助序列X' = [2,3,4,5,7,8,9]，即对X排序生成的新序列。对序列X和X’求LCS就是这个问题的解。这里不再详细论述，相信聪明的读者都容易看懂其中逻辑。

三、总结

用LCS算法代替穷举法来解决最长公共子序列问题，时间复杂度由O(2^n)下降到了O(n*m)，空间复杂度也是同等级数的下降。经由精妙的LCS算法，为我们方便地解决了运算起来繁复的问题。
有机会得继续学习这些有趣奇妙的算法。另外，我也得花时间去理解下复杂度的计算，之前一直是我的盲点。
收！