参考

The Elements of Statistical Learning (chapter 5.4)
MATLAB - Smoothing Splines
MATLAB - fit

1. 基础

Smoothing Spline 可以用于离散数据的函数拟合。考虑下面的问题：在所有存在二阶连续导数的函数中寻找拟合函数f(x)f(x)f(x)，可以使下面式子的值最小，RSSRSSRSS可以理解为惩罚系数。
RSS(f,λ)=∑i=1N{yi−f(xi)}2+λ∫{f′′(t)}dtRSS(f,\lambda)=\sum_{i=1}^{N}\{y_i-f(x_i)\}^2+\lambda \int\{f^{''}(t)\}dtRSS(f,λ)=i=1∑N{yi−f(xi)}2+λ∫{f′′(t)}dt
式中λ\lambdaλ是一个常数，称为平滑系数（smoothing parameter）。式子中的前一部分用来衡量拟合曲线与原数据的近似程度，后半部分称为曲率惩罚。λ\lambdaλ的选取原则可以参考下面两种极限情况。

λ=0\lambda=0λ=0：fff可以是任意函数。
λ=∞\lambda=∞λ=∞：简单的最小二乘直线拟合，因为此时任意非零二阶导数产生的惩罚系数都是都是∞∞∞而不能被接受，要使RSS最小，f(x)=0f(x)=0f(x)=0。

这里我们可以思考二阶导数的含义，即函数在某一点斜率的变化率，二阶导数越大，函数曲线的走向就越曲折，因此当λ=0\lambda=0λ=0，拟合函数f(x)f(x)f(x)可以无限弯曲，经过所有样本点，使误差的平方和为0，从而使RSS最小。而当λ=∞\lambda=∞λ=∞，拟合函数f(x)f(x)f(x)无限平滑，以至于成为一条直线。我们总能在λ∈[0,∞)\lambda\in[0, \infty)λ∈[0,∞)中找到符合要求的拟合函数f(x)f(x)f(x)。

2. MATLAB 应用

MATLAB中所使用的Smoothing Splines代价函数与上面的定义非常类似。
p∑iwi(yi−s(xi))2+(1−p)∫(d2xdx2)2dxp\sum_{i}w_i(y_i-s(x_i))^2+(1-p)\int(\frac{d^2x}{dx^2})^2dxpi∑wi(yi−s(xi))2+(1−p)∫(dx2d2x)2dx
其中权重wiw_iwi如果没有定义，默认都是1。
ppp的定义域是0到1，即p∈[0,1]p\in[0,1]p∈[0,1]当ppp的取值越小，拟合结果越平滑，而当ppp的取值越大，拟合结果就越倾向于经过所有的点。具体原因已经在上文中解释，不再赘述。

2.1 拟合

p=0.01

x = [0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1.0];
y = [0; 143; 298; 482; 762; 1290; 2880; 4016];f = fit(x, y, 'smoothingspline', 'SmoothingParam', 0.01);
plot(f, x, y);

p=1

x = [0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1.0];
y = [0; 143; 298; 482; 762; 1290; 2880; 4016];f = fit(x, y, 'smoothingspline', 'SmoothingParam', 0.01);
plot(f, x, y);

2.2 函数调用

对拟合生成的函数 f ,跟正常函数一样输入参数即可。

x = [0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1.0];
y = [0; 143; 298; 482; 762; 1290; 2880; 4016];f = fit(x, y, 'smoothingspline', 'SmoothingParam', 1);
f(0.6)

ans =482

函数返回结果与原数据一致（取决于拟合的程度）。

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