容斥原理

容斥原理本身比较简单，在此不作介绍。在这里要引入的是几个新概念：
1.多重集：广义上的元素可重复集合。
2.多重集的排列数：见蓝书P171
3.多重集的组合数：见蓝书P171，P176
关于多重集的组合数的任意情况的证明思路：利用容斥原理，先考虑将多重集变成一个每个元素都有无数个的无穷集。那么这样取出r个的方案就可以直接用情况3的初等公式计算。而接下来就是关键的容斥原理的应用：首先考虑第一个数a₁取n₁+1个的情况，再依次考虑剩下的数，并在答案中减去这种情况的和。第二步考虑取两个数a_i,a_j，且两个数的个数均为n_i+1,n_j+1，那么这种情况就要加上，以此类推。

例题1：AcWing 214.Devu和鲜花

这题实际上是一个多重集组合数任意情况求法的模板题。关键在于代码的实现:对于算式中的每一项，求各个交集时考虑用二进制枚举。二进制上的每一位都代表这个位置上的元素要除去，这样可以不重不漏地枚举所有的集合。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=22,mod=1e9+7;
typedef long long ll;
ll a[N],inv[N];
ll qmi(ll a,ll b,ll p){ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return res%p;
}
ll C(ll a,ll b){if(a<0 || b<0 || a<b) return 0;ll ans=1;a%=mod;if(a==0 || b==0) return 1;for(int i=0;i<b;i++){ans=ans*(a-i)%mod;} for(int i=1;i<=b;i++){ans=ans*inv[i]%mod;}return ans;
}
int main(){ll n;ll m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=qmi(i,mod-2,mod);for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];ll ans=0;for(int i=0;i<(1<<n);i++){if(!i){ans+=C(n+m-1,n-1);}else{ll k=n+m-1,p=0;for(int j=0;j<n;j++){if(i>>j&1){p++;k-=(a[j]+1);}}if(p&1){ans=(ans-C(k,n-1))%mod;}else{ans=(ans+C(k,n-1))%mod;}}}cout<<(ans+mod)%mod<<endl;return 0;
}

Mobius函数

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