一、算数平均数

算数平均数分为简单算数平均数与加权算术平均数。

简单算术平均：主要用于未分组的原始数据。设一组数据为x1、x2、x3、...、xkx_1、x_2、x_3、...、x_kx1、x2、x3、...、xk，得到简单算数平均
M=x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkkM=\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k}M=kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk

加权算术平均：主要用于处理经分组整理的数据。设原始数据为被分成kkk组，各组的组中的值为x1，x2，…，xkx_1，x_2，…，x_kx1，x2，…，xk，各组的频数分别为f1，f2，…，fkf_1，f_2，…，f_kf1，f2，…，fk，得到
M=x1⋅f1+x2⋅f2+x3⋅f3+⋅⋅⋅+xk⋅fkf1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkM=\frac{x_1·f_1+x_2·f_2+x_3·f_3+···+x_k·f_k}{f_1+f_2+f_3+···+f_k}M=f1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkx1⋅f1+x2⋅f2+x3⋅f3+⋅⋅⋅+xk⋅fk

二、几何平均数

定义

几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。分为简单几何平均数和加权几何平均数。

简单几何平均数：设一组数据为x1、x2、x3、…、xkx_1、x_2、x_3、…、x_kx1、x2、x3、…、xk，计算得到简单几何平均数
Gn=x1x2x3⋅⋅⋅xkkG_n=\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k}Gn=kx1x2x3⋅⋅⋅xk

加权几何平均数：设原始数据为被分成kkk组，各组的组中的值为x1，x2，…，xkx_1，x_2，…，x_kx1，x2，…，xk，各组的频数分别为f1，f2，…，fkf_1，f_2，…，f_kf1，f2，…，fk ，得到
Gn=x1f1x2f2x3f3⋅⋅⋅xkfkf1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkG_n=\sqrt[f_1+f_2+f_3+···+f_k]{x_1^{f_1}x_2^{f_2}x_3^{f_3}···x_k^{f_k}}Gn=f1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkx1f1x2f2x3f3⋅⋅⋅xkfk

三.几何意义

我们知道算术平均数，a+b2\frac{a+b}{2}2a+b不仅体现数字上的关系，而且体现将两个线段的和作为一个线段，再将其平均分为相等的两段；而ab\sqrt{ab}ab称为几何平均数，这个也体现了一个几何关系。

作一正方形，使其面积等于以a,ba,ba,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、ba、ba、b的几何平均数。
中国古代数学书中提到的矩形面积时往往用长宽的几何平均数来表示。

四.主要用途

计算几何平均数要求各观察值之间存在连乘积关系，它的主要用途是：

对比率、指数等进行平均；
计算平均发展速度；其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。
复利下的平均年利率；
连续作业的车间求产品的平均合格率。

四.A-G不等式

A-G不等式即算术几何平均值不等式（arithmetic-geometry inequality）即：
x1x2x3⋅⋅⋅xkk≤x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkk\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k}\leq \frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k}kx1x2x3⋅⋅⋅xk≤kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk
其中x1、x2、x3、…、xkx_1、x_2、x_3、…、x_kx1、x2、x3、…、xk均为非负数

证明：
ln(x1x2x3⋅⋅⋅xkk)=1k(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)ln(\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k})=\frac{1}{k}(lnx_1+lnx_2+lnx_3+···+lnx_k)ln(kx1x2x3⋅⋅⋅xk)=k1(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)

即证，
1k(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)≤ln(x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkk)\frac{1}{k}(lnx_1+lnx_2+lnx_3+···+lnx_k)\leq ln(\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k})k1(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)≤ln(kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk)

由于f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)在其定义域为凸函数，根据Jensen不等式
1nf(x1)+1nf(x2)+1nf(x3)+⋅⋅⋅+1nf(xn)≤f(x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xnn)\frac{1}{n}f(x_1)+\frac{1}{n}f(x_2)+\frac{1}{n}f(x_3)+···+\frac{1}{n}f(x_n)\leq f(\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_n}{n})n1f(x1)+n1f(x2)+n1f(x3)+⋅⋅⋅+n1f(xn)≤f(nx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xn)

上式得证。

五.知识扩展

几何平均数，平方平均数，调和平均数，算术平均数之间的大小关系：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

几何平均数与AG不等式相关推荐

从线性代数理解余弦定理，三角不等式，A-G不等式和柯西-许瓦兹不等式
从线性代数理解余弦定理,三角不等式,A-G不等式和柯西-许瓦兹不等式向量的两种运算 scalar multiplication and addition,分别为数乘和加法.两种运算一起有个好听的名字 ...
均值不等式链的几何证明
均值不等式链的几何证明这是我们高中时所见到的不等式链的关系,接下来将用几何图形的方法进行证明. 首先,做圆 A,直径 BC,在圆上异于 BC 取一点 D,连接 DA,DB,DC,并做 DE 垂直与 ...
AM-GM均值不等式的一种简证
AM-GM不等式:也叫均值不等式,·即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为"调几算方". 1.下式被称为调和平均数. 2.下式 ...
均值定理最大值最小值公式_数学均值定理怎么求不等式的最大值最小值，求教会(ฅω*ฅ)...
展开全部遵循32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad9431333431363062的基本原则: 1.当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两 ...
经典不等式链的一些拓展理解
经典不等式链: 1. 第一部分:调和平均数(HA: harmonic average) 即n个量的倒数的平均数的倒数: 应用场景:样本自变量和因变量的乘积相等的情况下,改变每个样本的自变量,而不改变 ...
均值不等式的来龙去脉
前言简单了解均值不等式的来龙去脉,有助于我们理解和灵活运用其解决问题. 均值不等式来自百度百科的说明,表达式\(H_n\leq G_n\leq A_n\leq Q_n\)被称为均值不等式,即调和平 ...
4个基本不等式的公式高中_高中数学基本不等式知识点
高一数学要从掌握好基本知识点开始,并且要及时做好归纳总结.以下是小编为您整理的关于的相关资料,供您阅读. 1.不等式性质比较大小方法: 1作差比较法2作商比较法不等式的基本性质 ①对称性:a > ...
均值不等式中考_不等式(初三不等式100道带答案)
不等式释义:1.用不等号表示出来的两个量之间的不相等性(如用和分别表示小于.大于和不等于)的表达式 2.不等量,小于或者大于另一数量的数学量网上搜的太简单高中函数中总让解不等式组怎么接的> ...
常见的均值不等式的使用技巧
原文作者wanghai 均值不等式这一素材是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材. 已知两个正数\(a,b\),则有(当且仅当\(a=b\)时取到等号) \(\color{red}{\cf ...
极限中0除以常数_基本不等式中常用公式百度作业帮
1. 基本不等式中常用公式基本不等式中常用公式: (1)√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b).(当且仅当a=b时,等号成立) (2)√(ab)≤(a+b)/2.( ...

几何平均数与AG不等式