01背包问题解法及优化

01背包问题

给定一个容量为C的背包，重量为weight，价值为value的石头，求背包能容纳的最大价值。

例

weight = [1, 2, 3]
value = [6, 10 ,12]
C = 5输出：22
背包中放入一个重量为3的石头和一个重量为2的石头
value = 10 + 12 = 22.

递归

 public int findRes(int[] weight, int[] value, int capcity) {if(weight.length != value.length) return 0;if(capcity < 0)return 0;if(weight.length == 0)return 0;return helper(weight, value, capcity, weight.length - 1);}//f(n, c)  考虑[0 - n] 中背包重量为c的最优解//状态转移方程为  f(n, c) = Math.max(不考虑最后一个石头, 最后一个石头的价值 + 考虑最后一个石头后剩余背包容量的最大值);//状态转移方程为  f(n, c) = Math.max(f(n - 1, c), v[n] + f(n - 1, c - w[n]));private int helper(int[] weight, int[] value, int capcity, int index) {//如果背包中if(index < 0 || capcity <= 0)return 0;int res = helper(weight, value, capcity, index - 1);if(capcity >= weight[index])res = Math.max(res, value[index] + helper(weight, value, capcity - weight[index], index - 1));return res;}

不难发现此种解法会有重叠计算的问题

记忆化搜索-自下而上

我们开辟一个空间存储之前计算的结果

 public int findRes2(int[] weight, int[] value, int capcity) {if(weight.length != value.length) return 0;if(capcity < 0)return 0;if(weight.length == 0)return 0;//行：是否考虑该位置的石头 0：只考虑第一个  1：考虑1  n：考虑n//列：背包剩余容量int memo[][] = new int[weight.length][capcity + 1];for(int i = 0; i < memo.length; i ++)Arrays.fill(memo[i], - 1);return helper2(weight, value, capcity, weight.length - 1, memo);}//f(n, c)  考虑[0 - n] 中背包重量为c的最优解//状态转移方程为  f(n, c) = Math.max(不考虑最后一个石头, 最后一个石头的价值 + 考虑最后一个石头后剩余背包容量的最大值);//状态转移方程为  f(n, c) = Math.max(f(n - 1, c), v[n] + f(n - 1, c - w[n]));private int helper2(int[] weight, int[] value, int capcity, int index, int[][] memo) {//如果背包中if(index < 0 || capcity <= 0)return 0;if(memo[index][capcity] != -1)return memo[index][capcity];int res = helper2(weight, value, capcity, index - 1, memo);if(capcity >= weight[index])res = Math.max(res, value[index] + helper2(weight, value, capcity - weight[index], index - 1, memo));memo[index][capcity] = res;return res;}

动态规划-自上而下

 //时间复杂度为O(C * n) 其中C为背包容量，n为石头个数//空间复杂度为O(C * n) 其中C为背包容量，n为石头个数private int findRes3(int[] weight, int[] value, int capcity) {if(weight.length != value.length) return 0;if(capcity <= 0)return 0;if(weight.length == 0)return 0;//行：是否考虑该位置的石头 0：只考虑第一个  1：考虑1  n：考虑n//列：背包剩余容量int memo[][] = new int[2][capcity + 1];//base casefor(int i = 0; i <= capcity; i ++) {//只考虑第一个，只要容量满足，就可以放入if(weight[0] <= i)memo[0][i] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.length; i ++) {for(int j = 0; j <= capcity; j ++) {int tmp = i ;//不考虑当前位置的石头memo[i][j] = memo[i - 1][j];//考虑且要放得下if(j >= weight[i])memo[i][j] = Math.max(memo[i][j], value[i] + memo[i - 1][j - weight[i]]);}}return memo[weight.length - 1][capcity];}

优化

可以发现i行数据依赖于i - 1行数据，所以我们只要重用空间就可以只使用2行记录状态。

 //时间复杂度为O(C * n) 其中C为背包容量，n为石头个数//空间复杂度为O(C * 2) 其中C为背包容量private int findRes4(int[] weight, int[] value, int capcity) {if(weight.length != value.length) return 0;if(capcity <= 0)return 0;if(weight.length == 0)return 0;//行：是否考虑该位置的石头 0：只考虑第一个  1：考虑1  n：考虑n//列：背包剩余容量int memo[][] = new int[2][capcity + 1];//base casefor(int i = 0; i <= capcity; i ++) {//只考虑第一个，只要容量满足，就可以放入if(weight[0] <= i)memo[0][i] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.length; i ++) {for(int j = 0; j <= capcity; j ++) {int tmp = i ;//不考虑当前位置的石头 [0]的位置放偶数 [1]的位置放奇数memo[i & 1][j] = memo[(i - 1) & 1][j];//考虑且要放得下if(j >= weight[i])memo[i & 1][j] = Math.max(memo[i & 1][j], value[i] + memo[(i - 1) & 1][j - weight[i]]);}}return memo[(weight.length - 1) & 1][capcity];}

最佳

在此深入可以发现，每一行数据只依赖上一行数据的左边数据，所以我们可以将数据存储实现在一行上。

 //时间复杂度为O(C * n) 其中C为背包容量，n为石头个数//空间复杂度为O(C) 其中C为背包容量private int findRes5(int[] weight, int[] value, int capcity) {if(weight.length != value.length) return 0;if(capcity <= 0)return 0;if(weight.length == 0)return 0;//行：是否考虑该位置的石头 0：只考虑第一个  1：考虑1  n：考虑n//列：背包剩余容量int memo[] = new int[capcity + 1];//base casefor(int i = 0; i <= capcity; i ++) {//只考虑第一个，只要容量满足，就可以放入if(weight[0] <= i)memo[i] = value[0];}//右边数据依赖于左边数据，所以只要开辟O(C)空间for(int i = 1; i < weight.length; i ++) {for(int j = capcity; j >= weight[i]; j --) {memo[j] = Math.max(memo[j], value[i] + memo[j - weight[i]]);}}return memo[capcity];}

测试main函数

 public static void main(String[] argc){int[] weight = new int[]{1, 2, 3};int[] value = new int[]{6, 10, 12};int res = new Pakage01().findRes(weight, value, 5);System.out.println(res);}

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