概率论与数理统计(2.3-2.4)随机变量的分布函数和密度函数(连续型)
一、2.3 随机变量的分布函数
1.定义
- 主要研究随机变量在某以区间内取值的概率情况。
- F(x)是x的一个普通实函数
- X是随机变量,x是参变量
- 不同的随机变量可能会是相同的分布函数
2.性质
长利用性质2来求分布函数中的参数
3.重要公式
- P{X<=a} =F(a)
- P{X>a} =1-P{x<=a} =1-F(a)
- P{a<X<=b} =P{x<=b}-P{X<=a} =F(b)-F(a)
- P{X=a} =F(a)-F(a-0)
- P{a<=X<=b} =F(b)-F(a-0)
- P{X<a} =F(a-0)
- P{X>=a} =1-F(a-0)
F(a-0) 表示从负无穷逼近a但是不包含a点。
4.离散型随机变量X的分布函数
如果是 分布函数 ——>概率
它的间断点xk是x的取值:P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)
5.连续型随机变量的分布函数
如果连续性随机变量的分布函数中有参数,可以利用连续的定义来求参数
二、2.4连续型随机变量及其密度
1.概率密度函数定义
2.概率密度函数性质
- 前两条性质为充分必要条件
- 性质2如图:性质2常用于求参数
- 性质3如图
- 对于连续性随机变量,我们不关心在某一点的取值,而在乎在某一区间上取值的问题。
- 连续性随机变量 P{X=a} =0;但X=a并非不可能事件,意味着A是不可能事件则,P(A)=0;但P(A)=0,不意味A一定是不可能事件。
- 随机变量X的概率分布:1.连续型随机变量-概率密度;2.离散型随机变量-分布律。
做题一般两种。1.告诉概率密度函数求分布函数,积分就行 2告诉分布函数求概率密度函数,求导就行。.
3.三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
- 服从均匀分布的随机变量X落在区间(a,b)任意等长度的子区间的概率相同,只取决于区间长度,与位置无关。
- 分布函数和f(x)、F(x)的图形
(2)指数分布
分布函数
重要特征
对任意 s,t >0
X解释为寿命,则表明如果已知X的寿命大于t年,则它再活s年的概率与年龄t无关。
电子元件的寿命,动物的寿命等都服从指数分布
(3)正态分布
分布函数
性质:对称轴、最大值
两种变化:固定一个参数,另外一个参数变化
标准正态分布(重点)
标准正态分布的分布函数和概率密度图
性质
- y轴对称,偶函数
标准正态分布通过查表获得分布函数值
对于非标准分布函数转化为标准分布函数的方法 重点
下图例子为非标准分布函数转化为标准分布函数计算
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