泰勒公式理解 数学基础
泰勒公式是非常又名和重要的一个知识点了，我记得学xgboost的时候就用到了“二阶泰勒展开”，这里对泰勒公式做一个梳理和总结。
对于泰勒公式，我把它理解成，用一个“有规律、可表达”的公式来代替一个复杂的函数。我们对一个函数进行“泰勒展开”，其实就是用泰勒公式去代替原函数。
泰勒公式定义：
这个式子称为f（x）在x0关于x-x0的n阶泰勒多项式。
其中x0是任意位置的常数值，这个函数表示:原函数在x0处的瞬间，可以用这个式子f(x)来表示。
可以知道，随着x0的变化，原函数的任意一个位置都可以写出一个泰勒公式，所以看上去整个用来代替的泰勒公式也是在变化的！这里比较难理解的是，明明都在x0位置处了，为什么函数并不是直接的一个数值，而是依然还是个“式子”？因为我们用泰勒公式表达的就是一个函数（即使它的定义域非常小）而不是一个值。
也可以这样理解：泰勒公式的表达不仅可以模拟函数的值，也模拟了函数在该位置的变化趋势。若我们把x=x0带入，可以发现后面的（x-x0）全部为0，f（x）就等于f（x0）。只不过这里我们没有带入x值而已。
最后我自己总结出一句话：泰勒公式就是用一个带参数x0变量为x的函数来表示原函数在x0位置的值和变化趋势。
看不懂没关系，点到为止！我们平时用的其实是下面的简单版：
现在，可以不用纠结x0与x了，我们要理解泰勒公式，更多的时候是置x0=0，这时，我们得到了另一个公式：麦克劳林公式：
麦克劳林公式的意义是把复杂的函数简单化，泰勒公式是在任意点（x0）展开，而麦克劳林公式是在0点对函数进行泰勒展开。我们以后说的“泰勒公式”反而更多的是这种简单形式，其实它叫麦克劳林公式~
现在，我们再也不用考虑在什么x0处展开了。从这个公式来看，我们就从0点对函数进行泰勒展开，让展开式模拟原函数。
为什么用这么一个看起来挺有规律的一个公式，就可以模拟原函数呢？把这个公式想出来是很难，但是按照已有公式去理解还是挺容易的——与其说泰勒公式是“模拟”和“代替”原函数，不如说它是“逼近”原函数，随着项数的增加，泰勒公式就会越来越接近原函数。
上图是以原函数为e的x次方为例，在不同展开阶数下，泰勒公式逼近原函数的情况。（图中为了突示出不同阶展开的差别，x和y轴的刻度并不一样，所以看起来y=x+1不与x轴成45度角，理解即可）
为啥展开阶乘数越多，就越逼近呢？具体是怎么做到这一点呢？
可以发现，泰勒公式的项数由三部分组成：导数（一阶二阶三阶等）、阶乘（1！，2！，3！等）以及x的次方（1次2次3次等）。
按照比较通俗的理解，可以说一下简单结论：
1.导数的作用，是用来指导函数的方向。我们知道对于y = e的x次方这个函数，在0点我们可以用y = x+1来初步模拟，这其实就是它的一阶展开。但问题是用一条直线模拟一个曲线，很明显过了0位置处，二者偏差得会越来越严重。而加上二阶导数，可以帮助我们调整这个方向（我们知道原函数是一个上升函数，所以其一阶导数是正的；但原函数更是一个下凸的上升函数，即它上升得越来越快，因此它的二阶导数也是正的！至于三阶、四阶导数就不好直接去理解了，但肯定有它们的意义。这其实就是不同阶导数在函数上的体现）。我们通过增加导数的阶数，可以更好的控制函数的方向。
2.x的次方作用，让阶数越高，增长越快。对于y = e的x次方的展开，越往右，越高次项的影响也就越大。但是当x<1时，x的高次就会特别小，因此起初低次项影响函数，后期高次项影响函数。
3.阶乘的作用，限制高次项，避免“数值爆炸”。刚刚说过，随着项数增加，x的次方也越来越大，到后面几乎全都是由高次项主导了，极大的数值会让低次项丧失意义，因此我们用除以n的阶乘的方法对高次稍微做限制。
就是通过这么三个部分，相互协调，神神奇奇又奇奇妙妙地表达（逼近）了原函数！
最后的最后再讨论一个我自己思考的终极问题：仅仅在0点对函数进行泰勒展开（只用简化版的麦克劳林公式），真的可以很好地代替原函数吗？我认为是这样的：我们对原函数在0点处n阶泰勒展开，然后取其在1位置的值；再对原函数在1处n阶泰勒展开，取1处的值，必然是后者的值更接近原函数的真实值！因为从0点进行的泰勒展开，随着x离0越来越远，它的表达能力（或者说是与原函数的贴合程度）必然会慢慢下降！只不过对原函数在0点进行泰勒展开实在是太方便了……并且像分析的一样，我们通过不断增加阶数，即使在0点处展开，也可以慢慢贴近整个函数的全貌。所以慢慢地这点差别我们也就不考虑了~
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