注意：这篇文章需要你了解C++作为前置

题目描述：

Given a binary tree, find the lowest common ancestor (LCA) of two given nodes in the tree.

According to the definition of LCA on Wikipedia: “The lowest common ancestor is defined between two nodes v and w as the lowest node in T that has both v and w as descendants (where we allow a node to be a descendant of itself).”

        _______3______/                       \_5__                 ___1__/        \             /           \
6         _2_       0              8/       \7          4

For example, the lowest common ancestor (LCA) of nodes 5 and 1 is 3. Another example is LCA of nodes 5 and 4 is 5, since a node can be a descendant of itself according to the LCA definition.

class Solution
{
public:TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {LCA = u = v = L = R = NULL;u = p;v = q;//init
            DFS(root);return LCA;}void DFS(TreeNode* root){if(root == NULL || LCA != NULL){return;}if(root->left != NULL){DFS(root->left);if(root->left == L)L = root;if(root->left == R)R = root;//update L, R to its father
            }if(root->right != NULL){DFS(root->right); if(root->right == L)L = root;if(root->right == R)R = root;//update L, R to its father
            }if(root == u)L = root; // first update of Lif(root == v)R = root;// first update of Rif(L != NULL && R != NULL && L == R && LCA == NULL){ //has find  LCALCA = L; return;}}// recursion function updating LCATreeNode* L;TreeNode* R;TreeNode* LCA;TreeNode* u;TreeNode* v;};           

Tarjan算法

离线算法：在开始时就需要知道问题的所有输入数据的算法

根据复杂度分析，Tarjan算法对于LCA问题的复杂度为O(N + Q),远优于朴素法

这个算法利用了并查集的特性，节省了空间和时间

为了一次性解决所有需求，为每一个节点分配一块空间来存储针对该节点的询问

(实际上也有别的方式能够解决这个问题，为了简便使用这个方法存储)

由于在朴素法中提出的那些关于解的条件依然成立

所以依然采用后序顺序访问树

当其子节点的访问结束后再处理针对该节点的所有请求

又由于可能在存储的询问(u, v)在访问u 时尚无法求解，如：

          _______3______/                       \_5__                  ___1__/        \             /            \
6         _2_        0               8/        \7          4针对（7, 8）的查询在访问7时是无法求解的

大概的思路是这样的

建立所有节点的并查集：用并查集所有节点中最顶层的节点作为并查集的代表，初始化时所有节点所在的并查集都只包含它本身

DFS访问

当访问到的节点有一支子树访问结束后，将这支子树的并查集归并到该节点所在的并查集

当两支子树都被归并到该节点所在的并查集中时，开始处理针对该节点的请求，设当前节点为u， 另一节点为v

仅处理v已被访问时的请求

此时我们有了这样的一个事实：

设当前节点为u， 另一节点为v

如果有针对(u ,v)的请求在u节点被处理了，那么在u之前，询问的另一个节点v已经被访问过了

根据后续遍历的特性，此时v所在的并查集的代表就是(u, v)的LCA

并查集的实现通过一个映射f[n]实现， f[n] 指向n的上一层并查集代表，如果n为顶层并查集，则f[n] = n

这样的话并查集的合并仅需要更改f[n] 就可以实现

最后说两句

支线任务什么的，其实我都看过，也都做过一遍，但我加上这篇也只写了两篇随笔，原因也是挺简单的：

我觉得那些我没写的题目讲起来真的不知道能讲什么

比如第一次的题目 ，你只要想到对链表原地反转，这一点就足够解决问题了

第二次的题目是上课的原题

第三次还算有点意思，需要考虑栈的特性

这一次给了道裸题，直接就是LCA

其实这些题目离答案非常近，也没有什么需要抽象的内容

这样的题目能讲些什么呢？

画个图一步一步教你走路？

能讲的东西我觉得只有一两句话，这一两句话也就够了

最后的最后

你是一个小有名气的冒险者导师

城门口的各种怪物，你徒手都能解决

有一天，冒险者协会给了你一个任务

写一个新手专栏:

傻瓜也能看懂的指南：一步一步干掉史莱姆

为了完成它

你拿着剑，游荡在城镇门口，日复一日

把这种黏液组成的杂兵砍碎了一遍又一遍

只为了你能得到的报酬从两百银币变成三百银币

为了这一百银币

你绞尽脑汁，不停地回忆自己出剑的角度，砍上去的手感，切入的深度，造成的伤害，史莱姆躲闪的方向，把这些详细得令人发指的细节写进书里

新手看着指南，将史莱姆砍杀得七零八落，很开心

你拿着手上的钱袋，想着晚上能去酒馆喝两杯，也很开心

看似如此

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但在无人的夜里

你有时还是会想

这件工作的意义何在？

新手们会满足于史莱姆么？

我为什么不让他们看看更遥远的世界？

于是终于有一天，你放弃了城门外的史莱姆

走向荒野深处，那里是你冒险的地方

你看到喷吐硫磺，火焰和毒气的巨龙

你看到长有巨大触须，操纵邪能的灵吸怪

你看到双头独眼，如山岳般高大的戈隆

这些你的老对手，你以前的敌人

你手里的剑因为你的紧握而发热

你早已遗忘的兴奋感也涌了出来

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你费劲千辛万苦，打倒了巨龙，无面者与戈隆

兴冲冲的把自己的经历写到了你的专栏里

告诉新手

还有一些怪物，是这样的

它们很强大，也很棘手

你用来杀死史莱姆的剑术，经过一系列的修正，加强，也能够干掉这些怪物

但你得学习这些剑术技巧，这里我无法详细介绍

而冒险者协会的回应是：后面附上的拓展游记有点意思，但我们觉得新手只想知道如何精确杀死史莱姆，越详细越好

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