[LeetCode]（面试题 08.11）硬币

题目

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

 输入: n = 5输出：2解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

 输入: n = 10输出：4解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明：

注意:

你可以假设：

0 <= n (总金额) <= 1000000

解题思路

1）01背包问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。令f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
则其状态转移方程为：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

优化空间复杂度至O(V)：

for i=1..Nfor v=V..0f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

注意是以v=V…0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。

2）完全背包问题
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。其特点是每个物品可以选无数次。
基本思路：
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大价值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] | 0<=k*c[i]<=v}

01背包问题要按照v=V…0的逆序来循环，这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0…V的顺序循环。
因此，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

将这个方程用一维数组实现，便得到了如下的伪代码：

for i=1..Nfor v=0..Vf[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

3）对于本题来说，由于硬币个数不限，所以是一个完全背包问题。具体地，我们设置一个 dp 数组来求解
3.1）二维情况：
dp[i][j] 使用前i种硬币计算j分的表示法种数，令coins=[25, 10, 5, 1]

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-coins[i]] + dp[i-1][j-2*coins[i]] + ... dp[i-1][j-k*coins[i]]，其中j>=k*coins[i]；
dp[i][j-coins[i]] = dp[i-1][j-coins[i]] + dp[i-1][j-2*coins[i]] + dp[i-1][j-k*coins[i]]，其中j>=k*coins[i]；

因此，

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i]]

3.2）优化到一维：
dp[k] 表示组成k面额的硬币情况数。

dp[k] = dp[k] + dp[k-coins[i]]

代码

class Solution:def waysToChange(self, n: int) -> int:dp = [0] *(n+1)dp[0] = 1coins = [25, 10, 5, 1]for i in coins:for j in range(i, n+1):dp[j] = dp[j] + dp[j-i]return dp[-1]%1000000007

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