高等数学基础02：极限

数列

按照一定次数排列的一列数： u 1 , u 2 , . . . , u n , . . . u_1,u_2,...,u_n,... u1,u2,...,un,... ，其中 u n u_n un叫做通项。

对于数列 { u n } , \{ u_n \} , {un}, 如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。

极限

符号表示：
x → ∞ 表示 “ 当 ∣ x ∣ 无限增大时 ” ； x \to \infty 表示 “当|x|无限增大时”； x→∞表示“当∣x∣无限增大时”；
x → + ∞ 表示 “ 当 x 无限增大时 ” ； x \to +\infty 表示 “当x无限增大时”； x→+∞表示“当x无限增大时”；
x → − ∞ 表示 “ 当 ∣ x ∣ 无限减少时 ” ； x \to -\infty 表示 “当|x|无限减少时”； x→−∞表示“当∣x∣无限减少时”；
x → x 0 表示 “ 当 x 从 x 0 的左右两侧无限接近于 x 0 时 ” ； x \to x_0 表示 “当x从x_0的左右两侧无限接近于x_0时”； x→x0表示“当x从x0的左右两侧无限接近于x0时”；
x → x 0 + 表示 “ 当 x 从 x 0 的右侧无限接近于 x 0 时 ” ； x \to x_0^+ 表示 “当x从x_0的右侧无限接近于x_0时”； x→x0+表示“当x从x0的右侧无限接近于x0时”；
x → x 0 − 表示 “ 当 x 从 x 0 的左侧无限接近于 x 0 时 ” ； x \to x_0^- 表示 “当x从x_0的左侧无限接近于x_0时”； x→x0−表示“当x从x0的左侧无限接近于x0时”；

函数在x0的邻域内有定义，

左右极限：函数在左半邻域/右半邻域内有定义

的充要条件是

当 x → 0 时 f ( x ) 的极限当x \to 0时 f(x)的极限当x→0时f(x)的极限
解：解：解：

左右极限存在但不相等，左右极限存在但不相等，左右极限存在但不相等，
$ \therefore $ $ \lim_{x \to 0}f(x)不存在$

无穷小：以零为极限
基本性质：
1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2.有限个无穷小的积仍是无穷小
3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小
4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。

无穷小的商不一定是无穷小。

极限有无穷小的关系：
$ \lim_{x \to x_0} f(x)=A的充要条件f(x)=A+\alpha(x)，其中\alpha(x)是x \to x_0时的无穷小。$
无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。

无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果 f ( x ) f(x) f(x)为无穷大，那么 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1为无穷小。
无穷小的比较：
α = α ( x ) , β = β ( x ) 都是无穷小 \alpha=\alpha(x), \beta=\beta(x)都是无穷小 α=α(x),β=β(x)都是无穷小

如果
则称β是比α高阶无穷小

则称β是比α低阶无穷小

则称β与α是同阶无穷小

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