导弹追踪问题数学建模matlab

摘要

一问题重述

二模型假设

三分析与建立模型

四模型求解

五模型检验和模型推广

六参考文献

摘要

本文研究的是导弹追踪敌舰问题。通过建立合理的数学模型，利用matlab软件模拟导弹追踪敌舰的过程，通过matlab编程绘图得到导弹击中敌舰的时间和位置。

首先我们建立平面直角坐标系，利用在任意时刻导弹的飞行方向指向敌舰的位置，

取时间间隔为Δt，计算每一点在各个时刻的坐标，对每一个点，连接它在各时刻的位置，即得所求运动轨迹。

一问题重述

设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹的速度是5v0，导弹头始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0(是常数) 与导弹方向成固定夹角的方向逃逸, 问导弹何时何地击中乙舰? 并选择若干特殊角度进行计算.你发现乙舰与导弹方向成何夹角逃逸才好?

二模型假设

导弹飞行过程中速度方向始终指向敌舰。
导弹和敌舰长度可以忽略，均可看成物理质点。
外界对导弹和敌舰的运动没有影响。
导弹飞行的轨迹和敌舰航行的轨迹始终在同一平面内。

三分析与建立模型

1.符号说明：

（x1,y1）导弹坐标

（x2,y2）敌舰坐标

v 导弹飞行的速度

u 敌舰航行的速度

d 导弹和敌舰之间的距离

Δt 时间间隔

φ 敌舰与导弹所成的固定夹角（为与x轴正向夹角）

2.建立平面直角坐标系，初始时，导弹位于（0，0）处，敌舰位于（1，0）处。

3.取时间间隔为Δt，计算每一点在各个时刻的坐标。

对于导弹，在t时刻的坐标为：（x1,y1）

则在t+Δt时刻的坐标为： $(x_{1}+v\Delta tcos\theta ,x_{2}+v\Delta tsin\theta)$

导弹和敌舰之间的距离: $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$

所以可得:

$cos\theta =\frac{x_{2}-x_{1}}{d}$

$sin\theta =\frac{y_{2}-y_{1}}{d}$

对于敌舰，在t时刻的坐标为：（x2,y2）

则在t+Δt时刻的坐标为： $(x_{1}+u\Delta tcos\alpha ,x_{2}+u\Delta tsin\alpha )$

由几何关系易知： $\alpha =\theta +\varphi$

所以可得:

$cos\alpha =cos(\theta +\varphi )=\frac{x_{2}-x_{1}}{d}cos\varphi -\frac{y_{2}-y_{1}}{d}sin\varphi$

$sin\alpha =sin(\theta +\varphi )=\frac{y_{2}-y_{1}}{d}cos\varphi +\frac{x_{2}-x_{1}}{d}sin\varphi$

4．取足够小的 $\varepsilon$ ， $d<\varepsilon$ 时，结束算法。

5. 对每一个点，连接它在各时刻的位置，即得导弹和敌舰运动轨迹。

四模型求解

使用matlab软件，编写m文件：

v=5;

u=1;

dt=0.001;

x=[0,1];

y=[0,0];

for i=1:2

plot(x(i),y(i),'.'),hold on

end

d=1;

a=1/3*pi;

t=0;

while(d>0.01)

d=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);

x(1)=x(1)+v*dt*(x(2)-x(1))/d;

y(1)=y(1)+v*dt*(y(2)-y(1))/d;

plot(x(1),y(1),'.'),hold on

x(2)=x(2)+u*dt*((x(2)-x(1))/d*cos(a)-(y(2)-y(1))/d*sin(a));

y(2)=y(2)+u*dt*((y(2)-y(1))/d*cos(a)+(x(2)-x(1))/d*sin(a));

plot(x(2),y(2),'.'),hold on

t=t+dt;

end

改变程序中a（即固定角）的值，分别取a=0,1/6π，1/3π，1/2π。

角度	击中位置	击中时间
0	（1.24，0）	0.2480
1/6π	（1.19，0.14）	0.2400
1/3π	（1.07，0.20）	0.2210
1/2π	（0.97，0.19）	0.2000

综上，由表格以及轨迹图中得到的数据可知，当敌舰航行的方向为x轴正方向（即固定角为0）时间最长。

五模型检验和模型推广

易知当敌舰航行的方向和导弹速度的方向一致时，敌舰被击中的时间最长，这与编程所得的结果相同。但实际情况中导弹追踪敌舰，以及敌舰躲避导弹的过程不会这么简单，本文所做的假设也有很大的局限性。所以这个模型只能反应一个大致的导弹追踪敌舰的过程，更多更复杂的细节问题还有待完善。

六参考文献

[1] 赵静等数学建模与数学实验（第三版）