前言

众所周知，模型是由很多个小三角面组成的，而三角面又是由三条边组成的，所以要想渲染模型，第一步是画直线。这一节要详细讲三个经典的直线算法。

在上一讲中我们讨论了如何用 xmake 来做跨平台的编译工作，我对 Windows 和 Mac 平台的编译做了区分：在 win 平台链接下载好的 lib，在 mac 平台使用 brew 来引入 SDL2 的依赖。然后 xmake 的作者 ruki 大佬指出可以直接用 xmake 的 libsdl 包，支持跨平台，可以用优美而一致的代码实现两个平台的配置。

所以文件 xmake.lua 可以改为：

add_rules("mode.debug", "mode.release")
set_languages("c++14")-- SDL2
add_requires("libsdl")if is_os("windows") then-- Avoid for error LINK1561add_ldflags("/SUBSYSTEM:CONSOLE")
endtarget("DLSoftRenderer")set_kind("binary")add_includedirs("src/include")add_files("src/*.cpp")add_packages("libsdl")

然后我们就可以安心地把 SDL2 的文件夹从项目中移除了，完全交给 xmake 去处理。

概述

由于显示器精度总是有限的，所以在屏幕上只能用离散的点去逼近直线，如下图所示：

直线算法的目标就是以最少的计算量，绘制出最逼近指定直线路径上的最佳像素点。该篇博客主要讲述两种画直线的算法：DDA 算法和 Bresenham 算法。

DDA 算法

第一个要介绍的算法叫做 DDA (Digital Differential Analyzer，数值微分法)，顾名思义，该方法是用微积分的思想来画直线。

直线最简单的表示方法为斜截式：
y=kx+ty = kx + t y=kx+t
给定直线的两个端点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 和 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)P1(x1,y1)，则微分形式可以表示为：
k=ΔxΔy=x1−x0y1−y0k=\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{x_1-x_0}{y_1-y_0} k=ΔyΔx=y1−y0x1−x0
基本思想是沿着某一个轴递增，计算另一个轴的增量，根据斜率拆解成两种情况：k<1k<1k<1 和 k≥1k\ge1k≥1。

综合考虑两种情况，写成伪代码就是：

DrawLine(x0, y0, x1, y1)dx = x1 - x0dy = y1 - y0step = max(abs(dx), abs(dy))xIncre = dx / stepyIncre = dy / stepfor i from 0 to stepSetPixel(round(x), round(y))x += xIncrey += yIncre

DDA 算法的每一步都是在上一步的值加上一个增量来获得的，故称为增量算法，DDA 尽管实现起来很简单，但是计算过程中有浮点数的运算，其效率因此不高。我们的软渲染器不会采用 DDA 算法。

中点 Bresenham 算法

Bresenham 算法才是我们今天的主角，因为它实现了完全无浮点数绘制直线，是现代应用最广范的直线生成算法。接下来我将带着你一步步推导 Bresenham 算法。

首先，直线可以用隐式方程来表示：
F(x,y)=y−kx−t=0F(x,y)=y-kx-t=0 F(x,y)=y−kx−t=0
如下图所示，Pi(xi,yi)P_i(x_i,y_i)Pi(xi,yi) 是当前点，Pu(xi+1,yi+1)P_u(x_i+1,y_i+1)Pu(xi+1,yi+1) 和 Pd(xi+1,yi)P_d(x_i+1,y_i)Pd(xi+1,yi) 是两个候选点，M(xi+1,yi+0.5)M(x_i+1,y_i+0.5)M(xi+1,yi+0.5) 是候选点的中点。

可以根据判别式决定下一个渲染的点是 PuP_uPu 还是 PdP_dPd：
d=F(xM,yM)d=F(x_M,y_M) d=F(xM,yM)
上述情况下的判别式则表示为：
di=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5−k(xi+1)−td_i=F(x_i+1,y_i+0.5)=y_i+0.5-k(x_i+1)-t di=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5−k(xi+1)−t
当 d<0d<0d<0 时，中点 MMM 在直线下方，直线为图中黑色实线位置，取候选点 PuP_uPu；当 d≥0d\ge0d≥0 时，中点 MMM 在直线上方，直线为图中绿色虚线位置，取候选点 PdP_dPd。

然后我们继续看后续的迭代，设当前点为 Pi+1(xi+1,yi+1)P_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})Pi+1(xi+1,yi+1)，这时需要分类讨论：

若 di<0d_i<0di<0，此时候选点分别为 Pu(xi+2,yi+2)P_u(x_i+2,y_i+2)Pu(xi+2,yi+2) 和 Pd(xi+2,yi+1)P_d(x_i+2,y_i+1)Pd(xi+2,yi+1)。判别式为 di+1=F(xi+2,yi+1.5)=yi+1.5−k(xi+2)−t=di+1−kd_{i+1}=F(x_i+2,y_i+1.5)=y_i+1.5-k(x_i+2)-t=d_i+1-kdi+1=F(xi+2,yi+1.5)=yi+1.5−k(xi+2)−t=di+1−k，即相对于 did_idi 的增量是 1−k1-k1−k。

若 d≥0d \ge 0d≥0，此时候选点分别为 Pu(xi+2,yi+1)P_u(x_i+2,y_i+1)Pu(xi+2,yi+1) 和 Pd(xi+2,yi)P_d(x_i+2,y_i)Pd(xi+2,yi)。判别式为 di+1=F(xi+2,yi+0.5)=di−kd_{i+1}=F(x_i+2,y_i+0.5)=d_i-kdi+1=F(xi+2,yi+0.5)=di−k，即相对于 did_idi 的增量是 −k-k−k。

接下来，只要求出 d0d_0d0 就可以得到 ddd 的递推公式了。假设 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 是刚好在直线上的点，则有 F(x0,y0)=y0−kx0−t=0F(x_0,y_0)=y_0-kx_0-t=0F(x0,y0)=y0−kx0−t=0，此时两个候选点的中点坐标为 M(x0+1,y0+0.5)M(x_0+1,y_0+0.5)M(x0+1,y0+0.5)，有 d0=F(x0+1,y0+0.5)=y0−kx0−t+0.5−k=0.5−kd_0=F(x_0+1,y_0+0.5)=y_0-kx_0-t+0.5-k=0.5-kd0=F(x0+1,y0+0.5)=y0−kx0−t+0.5−k=0.5−k。

整理一下，ddd 的初值为 d0=0.5−kd_0=0.5-kd0=0.5−k，若 di<0d_i<0di<0，则 di+1=di+1−kd_{i+1}=d_i+1-kdi+1=di+1−k；若 di≥0d_i\ge0di≥0，则 di+1=di−kd_{i+1}=d_i-kdi+1=di−k。

经观察发现，在对判定式 ddd 的迭代过程中，作为判定的只有 did_idi 的正负。为了消除浮点数，可以对所有的 ddd 乘上同一个数，这个倍数就是 2Δx2\Delta x2Δx。注意 k=Δy/Δxk=\Delta y / \Delta xk=Δy/Δx 表示斜率。

那么，对 ddd 的迭代过程就修改为：初值为 d0=Δx−2Δyd_0=\Delta x-2\Delta yd0=Δx−2Δy，若 di<0d_i<0di<0，则 di+1=di+2Δx−2Δyd_{i+1}=d_i+2\Delta x-2\Delta ydi+1=di+2Δx−2Δy；若 di≥0d_i\ge0di≥0，则 di+1=di−2Δyd_{i+1}=d_i-2\Delta ydi+1=di−2Δy。

到此，Bresenham 算法已推导完毕，可以写出伪代码了：

DrawLine(x0, y0, x1, y1)dx = x1 - x0dy = y1 - y0y = y0d = dx - 2 * dyfor x from x0 to x1SetPixel(x, y)if d < 0y++d += 2 * (dx - dy)elsed -= 2 * dy

但是，上述代码只考虑了 k∈[0,1]k \in [0, 1]k∈[0,1] 的情况，要扩展到完整体也不难：

DrawLine(x0, y0, x1, y1)dx = x1 - x0dy = y1 - y0d = dx - 2 * dyif dx < 0swap(x0, x1)dx = -dxif dy < 0swap(y0, y1)dy = -dyif dx > dyy = y0for x from x0 to x1SetPixel(x, y)if d < 0y++d += 2 * (dx - dy)elsed -= 2 * dyelsex = x0for y from y0 to y1SetPixel(x, y)if d < 0x++d += 2 * (dy - dx)elsed -= 2 * dx

改进的 Bresenham 算法

接下来是改进的 Bresenham 算法，它是从前面所述的中点 Bresenham 算法优化而来的。

前面介绍的 Bresenham 算法用中点 MMM 与直线的位置关系来引入误差项，其实误差项有更直观的计算方法。如下图所示，我们以起点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 为原点构造网格线，ddd 为误差项。

每次 xxx 增加 111，若 d>0.5d>0.5d>0.5，则 yyy 增加 111；若 d≤0.5d\le0.5d≤0.5，则 yyy 保持不变。

ddd 的迭代过程可描述为：初值为 d0=0d_0=0d0=0，若 di>0.5d_i>0.5di>0.5，则 di+1=di−1,yi+1=yi+1d_{i+1}=d_i-1,\ y_{i+1}=y_i+1di+1=di−1, yi+1=yi+1；若 di≤0.5d_i\le0.5di≤0.5，则 di+1=di,yi+1=yid_{i+1}=d_i,\ y_{i+1}=y_idi+1=di, yi+1=yi。为消除浮点数，令 e=d−0.5e=d-0.5e=d−0.5，然后同样放大 2Δx2 \Delta x2Δx 倍，得到：
{e0=−Δxei+1=ei+2Δyxi+1=xi+1e>0⇒yi+1=yi+1,ei+1=ei+1−2Δxe≤0⇒yi+1=yi\left\{ \begin{aligned} & e_0 = -\Delta x \\ & e_{i+1} = e_i + 2 \Delta y \\ & x_{i+1} = x_i + 1 \\ & e>0 \Rightarrow y_{i+1} = y_i + 1,\ e_{i+1}=e_{i+1}-2 \Delta x \\ & e\le0 \Rightarrow y_{i+1} = y_i \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧e0=−Δxei+1=ei+2Δyxi+1=xi+1e>0⇒yi+1=yi+1, ei+1=ei+1−2Δxe≤0⇒yi+1=yi
于是可以写出伪代码：

DrawLine(x0, y0, x1, y1)dx = x1 - x0dy = y1 - y0if dx < 0swap(x0, x1)dx = -dxif dy < 0swap(y0, y1)dy = -dyif dx > dyy = y0e = -dxfor x from x0 to x1SetPixel(x, y)e += 2 * dyif e > 0y++e -= 2 * dxelsex = x0e = -dyfor y from y0 to y1SetPixel(x, y)e += 2 * dxif e > 0x++e -= 2 * dy

极简版 Bresenham

最后贴上极简版 Bresenham 算法的实现（请原谅我水平有限，该版本实在是推导不来

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