债券价格和到期收益率的关系_金融学笔记：久期与凸性，衡量债券价格风险的常用指标...

关于久期，一篇科普性质的文章可见：

当我们谈论久期时，我们在谈论什么zhuanlan.zhihu.com

本文将稍显晦涩。

关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。

我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。

用

表示现金额，

表示利率期限结构中的到期收益率，则：

到期收益率曲线非水平时：

特殊地，到期收益率曲线水平时：

久期

在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：

旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。

我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：

有时我们用

表示一笔现金的现值，用

表示折现因子，上式也可以写成：

出于我们的目的，自然是要考察

，这刻画了

市场利率变化时债券价格的变化程度。于是定义：

这就是修正久期（Modified Duration）。

稍复杂地，在每年付息

次的情形下（注意

始终指期数而非年数），有：

，进而

此时有

修正久期是最精确、最常用的久期，但历史上还有比率久期（又名麦考利久期）和金额久期（又名美元久期）两种久期，

根据姚长辉教授《固定收益证券：定价与利率风险管理》一书，

比率久期，即麦考利久期为

相应的，金额久期为

此处，仅出于笔者的意见，或许有更合适的定义为

凸性

事实上，上述过程我们仅考虑了利率变动与价格变动的线性关系，由于现实中总有

，我们需要考察

这是由债券价格的泰勒展开

而来。

很明显，已有

，类似地我们定义

这就是修正凸性（Modified Convexity），具体有

故而得到

同样地，存在一年付息

次的情况，此时有

根据姚长辉教授《固定收益证券：定价与利率风险管理》一书，

比率凸性为

相应的，金额凸性为

此处，仅出于笔者的意见，或许有更合适的定义为

久期与凸性的性质

当得到修正久期和修正凸性后，实际我们就已经有

注意，久期和凸性始终是刻画风险的指标，我们并不期望用他们去估计价格。

在投资组合里，久期与凸性具有可以线性相加的优良性质，这是说：

其中权数

是单个债券的投资比重。

久期越大的债券，价格对利率越敏感，利率下降带来的价格提升与利率提升带来的价格下降都会更大；凸性大的债券利率下降带来的价格会更大，而利率提升带来的价格会更小。

有效久期与有效凸性

由于有时候证券的情况更加复杂，例如有不确定的现金流、含权等等，我们提出有效久期与有效凸性的概念，直截了当地刻画价格受利率影响的程度：

注意此时有

久期和凸性的封闭式公式

Jess H. Chua ，于 1984 年，在发表在《Financial Analysts Journal》上的 A Closed-Form Formula for Calculating Bond Duration 一文中，给出了计算久期的封闭式公式：

其中是

是每期利息（coupon payment），

是票面价值（face value）。此处要求到期收益率曲线水平，并有每期利息不变。

证明：

这是说有

进而

注意到

于是有

代回即得

到期收益率曲线水平，且每期利息不变时，凸性也有对应的封闭式公式，只需把

的表达式写为封闭形式，然后两次求导即可。

2019.6