电子态密度的计算

首先我们把空间映射到动量空间

我们下面来证明每一个电子态占据动量空间的体积

考虑到一个长度为L的半导体带

电子也是物质波，因为波不能消失，所以 $\frac{L}{\lambda}=n_x$

有根据德布罗意假设，我们知道 $\lambda=\frac{h}{P_x}$

所以我们知道 $LP_x=hn_x$

因为考虑一个电子态，所以我们有 $LdP_x=h$

我们考虑单位长度的L

所以 $dP_x=h$

故而我们有 $dP_xdP_ydP_z=h^3$

所以每一个电子态占据的动量空间体积为 $h^3$

我们用球壳模型来进行计算

$N(E)d(E)=2\frac{(4 \pi p^2dp)}{h^3}=8 \pi p (pdp)/h^3$

因为球面的微元是 $4 \pi p^2 dp$ ,因为每一个电子态有自旋相反的两个电子

又因为 $E=\frac{p^2}{2m_n}$ , $p=\sqrt{2m_nE}$

$dE=\frac{pdp}{m_n}$

$N(E)dE= 8 \pi \sqrt{2m_nE}(m_ndE)/h^3 =4 \pi (\frac{2m_n}{h^2})^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}dE$

所以 $N(E)=4 \pi (\frac{2m_n}{h^2})^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}$

我们可以画出图像

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