Dynamical Movement Primitives (DMP) 总结

概述

DMP通过将动态系统建立为①弹簧阻尼系统+②非线性控制项的方式fff，实现了对示教数据的建模。具体贡献如下：

① 提供了一种简单的非线性系统建模方法：

τy¨=α(β(g−y)−y˙)+f(x),\tau \ddot{y} = \alpha(\beta(g-y)-\dot{y})+f(x),τy¨=α(β(g−y)−y˙)+f(x),τx˙=f1(x)\tau \dot{x} = f_1(x)τx˙=f1(x)

通过将控制量fff设计为隐式包含时间的非线性函数来实现系统的非线性性。

② 创新性地提出了利用一个相位系统，也称为标称系统(canonical system)来动态调节控制量fff的大小:

τx˙=−αxx,\tau \dot{x} = -\alpha_x x,τx˙=−αxx,显然xxx在原点处渐进稳定。通过将x0x_0x0设定为1,代表系统刚开始运行，x∞=0x_{\infty} = 0x∞=0代表系统结束，来隐式地表示时间ttt。
文章将控制量fff设计为以下函数:
f=∑i=1NΦi(x)ωi∑i=1NΦi(x)x(g−y0),f = \frac{\sum_{i=1}^{N}{\Phi_i(x)\omega_i}}{\sum_{i=1}^{N}\Phi_i(x)}x(g-y_0),f=∑i=1NΦi(x)∑i=1NΦi(x)ωix(g−y0),Φi(x)=exp⁡−12σi2(x−ci)2\Phi_i(x) = \exp{-\frac{1}{2 \sigma_i^2}(x-c_i)^2}Φi(x)=exp−2σi21(x−ci)2
其中Φi(x),i=1,...,N\Phi_i(x),i=1,...,NΦi(x),i=1,...,N代表基函数，ωi\omega_iωi为待学习的参数，ggg为示教数据的目标点，y0y_0y0为起始点，xxx为相位系统的变量。
可以看出，当t→∞t\to \inftyt→∞时，x→0x\to 0x→0，f→0f\to 0f→0，这表示随着系统的轨线接近目标点，控制量fff越来越小，最终收敛到0.

注意到，在需要建模含有极限环的非线性系统时，只需要将控制量fff,基函数Φi(x)\Phi_i(x)Φi(x)变为周期函数:
τϕ˙=1,\tau \dot{\phi} = 1,τϕ˙=1,f=∑i=1NΦiωi∑i=1NΦir,f = \frac{\sum_{i=1}^{N}{\Phi_i\omega_i}}{\sum_{i=1}^{N}\Phi_i}r,f=∑i=1NΦi∑i=1NΦiωir,Φi=exp⁡(hi(cos⁡(ϕ−ci)−1)\Phi_i=\exp({h_i(\cos(\phi-c_i)-1)}Φi=exp(hi(cos(ϕ−ci)−1)就可以描述非线性系统中极限环的行为。

多维动态系统

如上图所示，文章通过同一相位系统，不同的非线性控制项fff以及不同的弹簧阻尼系统来进行不同维度之间变量的耦合。

系统参数的学习

给定示教数据(ydemo,y˙demo,y¨demo)k,k=1,2,...,P(y_{demo}, \dot{y}_{demo}, \ddot{y}_{demo})^k, k=1,2,...,P(ydemo,y˙demo,y¨demo)k,k=1,2,...,P，若构建含有单一收敛子的系统，则选定y0=ydemo1,g=ydemoPy_0=y_{demo}^1,g=y_{demo}^Py0=ydemo1,g=ydemoP.时间常数τ\tauτ选择为示教轨迹记录时常的1.05倍。
将方程改写为
ftarget=τy¨−α(β(g−ydemo)−y˙demo)f_{target} = \tau \ddot{y} -\alpha(\beta(g-y_{demo})-\dot{y}_{demo})ftarget=τy¨−α(β(g−ydemo)−y˙demo)设计损失函数为J=12(ftarget−f(x))2J = \frac{1}{2}(f_{target}-f(x))^2J=21(ftarget−f(x))2通过最小化损失函数来得到ci,σi,ωic_i,\sigma_i,\omega_ici,σi,ωi。