曲柄滑块机构运动规律
实验一 曲柄滑块机构的运动规律
一、实验目的
本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究，通过实验复习函数求导法、Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来就、研究函数的方法。
二、实际问题
曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。
记曲柄OQ的长为r，连杆QP的长为l。当曲柄绕固定点O以角速度w旋转时，由连杆带动的、滑块P在水平槽内作往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上，曲柄从初始位置起转动的角速度为，而连杆QP与OP的锐夹角为（称为摆角）。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，确切的说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于的函数关系，摆角及其角速度和角加速度关于的函数关系，进而
（1） 求出滑块的行程s（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；
（2） 求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力；
（3） 求出的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。
在求解上述问题时，我们假定r=100mm，l=3r=300mm，w=240转/min。
三、数学模型
取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。
利用三角关系，立即得到
（1.1）
由于 故有
（1.2）
而
（1.3）
于是滑块的速度：
（1.4）
进而，可以得到滑块的加速度为：
（1.5）
同样，基于关系式：
（1.6）
我们有摆角的表达式：
（1.7）
式（1.6）对t求导，
可得：
（1.8）
由此再得：
（1.9）
利用（1.6），不难由上两式导出
（1.10）
和
（1.11）
至此，我们得到了滑块位移x和连杆摆角运动规律中有关变量依赖的表达式
虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式（1.5）和（1.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易。
由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。
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