抽样和抽样分布-样本均值的抽样分布

抽样分布：

现在，假设将抽取n个样本组成一个简单随机样本的过程重复进行下去，每次都计算 x¯ \bar{x} 和 p¯ \bar{p} 的值。
在不同的简单随机样本中，这些样本统计量的值有各种可能的结果，它们是随机变量。是随机变量就能得到其概率分布，我们称这些随机变量的概率分布为它们的抽样分布。

这一节，我们先来看看样本均值 x¯ \bar{x} 的抽样分布。
和其他概率分布一样， x¯ \bar{x} 的抽样分布也有期望、标准差以及形态特征。

x¯ \bar{x} 的数学期望：

E(x¯)=μ E(\bar{x})=\mu ， E(x¯) E(\bar{x}) 为 x¯ \bar{x} 的期望， μ \mu 为总体均值。

x¯ \bar{x} 的标准差：

x¯ \bar{x} 的标准差公式与总体是否有限有关。
有限总体下：
σx¯=N−nN−1‾‾‾‾√⋅(σn√) \sigma _{\bar{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\cdot\left ( \frac{\sigma }{\sqrt{n}} \right )
无限总体下：
σx¯=σn√ \sigma _{\bar{x}}= \frac{\sigma }{\sqrt{n}}
式中的 N−nN−1‾‾‾‾√ \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} 称为有限总体修正系数。在很多实际抽样中，总体的容量很大，样本容量相对很小，修正系数 N−nN−1‾‾‾‾√ \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} 趋近于1，有限总体和无限总体 x¯ \bar{x} 的标准差计算之间的差别可以忽略，我们可以用通式 σx¯=σn√ \sigma _{\bar{x}}= \frac{\sigma }{\sqrt{n}} 计算样本均值的标准差。那具体是总体容量大到什么程度，样本容量小到什么程度，两条公式间的差别才可以忽略呢？我们约定，当 nN⩽0.05 \frac{n}{N}\leqslant 0.05，即样本容量不超过总体容量的5%时，两者间误差可忽略。
另外，为强调 σx¯ \sigma _{\bar{x}} 和总体标准差 σ \sigma 的不同（ σx¯ \sigma _{\bar{x}} 是总体的简单随机样本的均值的抽样分布的标准差），我们称 σx¯ \sigma _{\bar{x}} 为均值 x¯ \bar{x} 的标准误差。

x¯ \bar{x} 的抽样分布的形态

考虑以下两种情形：总体服从正态分布、总体不服从正态分布。
总体服从正态分布时，任何样本容量下 x¯ \bar{x} 的抽样分布都是正态分布；
总体不服从正态分布时，我们引入中心极限定理：

从总体中抽取容量为n的简单随机样本，当样本容量很大时，样本均值 x¯ \bar{x} 的抽样分布近似服从抽样分布。

下图给出了样本容量分别为 n=2 n= 2、 n=5 n= 5 和 n=30 n= 30时抽样分布的形状：

可以看到，随着样本容量的增加，抽样分布的形态逐渐趋近于正态分布。
在一般统计实践中，对大多数应用，假定样本容量超过或等于30时， x¯ \bar{x} 的抽样分布可用正态分布近似；当总体严重偏态或出现异常点时，可能需要样本容量达到50；当总体为离散型时，正态近似中所需样本容量一般依赖于总体的比率。