直观印象

如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的是运动的速度和方向，那么：

特征值就是运动的速度
特征向量就是运动的方向

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（矩阵）的特征。

注意：由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实中有不同的替代。

1 几何意义

在后面的介绍中，画图都会把作图所用的基和原点给画出来。

在i→,j→\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}i,j为基的空间里有向量v→\overrightarrow{v}v：

随便左乘一个矩阵A，此时图像如下所示，可以看到没有什么特殊：

这时如果调整下v→\overrightarrow{v}v的方向，图像看上去就有点特殊了

我们可以观察到，调整后的 v→\overrightarrow{v}v 和 Av→A\overrightarrow{v}Av 在同一根直线上，只是 Av→A\overrightarrow{v}Av 的长度相对 v→\overrightarrow{v}v 变长了。

此时，我们称 v→\overrightarrow{v}v 是A的特征向量，而 Av→A\overrightarrow{v}Av 的长度是 v→\overrightarrow{v}v 的长度的 λ\lambdaλ 倍，λ\lambdaλ 就是特征值。从而，特征值和特征向量的定义如下：

其实之前的A不止一个特征向量，还有另一个特征向量：

可以看出此时特征值小于1，所以两个特征向量对应的特征值一个大于1一个小于1。

从特征向量和特征值的定义还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量。

接下来介绍下特征值、特征向量与运动的关系。

2 运动的速度与方向

2.1 矩阵的混合

一般来说，矩阵我们可以看作某种运动，而二维向量可以看作平面上的一个点（或者一个箭头）。对于点我们是可以观察的，但是运动我们无法直接观察。

要观察矩阵代表的运动，需要把它附加到向量上才能观察出来。

首先进行一次乘法：

现在还看不出明显的规律，但如果我们反复运用矩阵乘法：

这个时候矩阵所代表的运动的最明显的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。（别的特征值对应的是什么速度，后面解释，这里先跳过）

2.2 以一个例子来理解

斐波那契数列如下：

Tt+1=Tt+Tt−1T_{t+1}=T_t+T_{t-1}Tt+1=Tt+Tt−1

要继续计算下去，我们只需要Tt+1T_{t+1}Tt+1以及TtT_tTt，因此我们可以改写成如下的式子：

[Tt+1Tt]=[1110][TtTt−1]\begin{bmatrix}T_{t+1}\\T_t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}T_{t}\\T_{t-1}\end{bmatrix}[Tt+1Tt]=[1110][TtTt−1]

这里，我们就将斐波那契变换这种变换（也可以理解为运动）抽象为了矩阵A=[1110]A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}A=[1110]，根据斐波那契数列，让我们从[11]\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}[11]开始，整个变化过程如下：

此时我们可以看出，点会随着AAA的特征值最大的特征向量的方向变化。

3 特征值分解

待补充

我们知道，如果矩阵A可对角化的话，可以通过相似矩阵进行如下的特征值分解：

A=PΛP−1A=P\Lambda P^{-1}A=PΛP−1

其中 Λ\LambdaΛ 为对角阵，PPP 的列向量是单位化的特征向量，以下是一个具体的例子：

对于方阵而言，矩阵不会进行维度的升降，所以矩阵代表的运动实际上只有两种：

旋转
拉伸

最后的运动结果就是这两种的合成。

我们回头看下刚才的特征值分解，实际上把运动給分解开了：

然后看下在几何上的表现，因为相似矩阵的介绍涉及到基的变换，所以我们需要注意观察基：

假如存在这样一对单位特征向量，然后有着在这样一对特征向量下的正方形

此时左乘P=[−22222222]P=\begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}P=[−22222222]，可以得到：

如果旋转前的基不正交，那么旋转后变成了标准基（？），实际会产生伸缩，所以之前说的正交很重要。

继续左乘对角矩阵 Λ=[3001]\Lambda=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}Λ=[3001]：

相当于，之前的旋转指明了拉伸的方向，所以我们理解了：

特征值就是拉伸的大小
特征向量指明了拉伸的方向

回到之前所说的运动，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向，而其余方向的运动就由特征向量方向的运动合成（？）。所以最大的特征值对应的特征向量指明了运动速度的最大方向。

但是注意，上面的推论有一个重要的条件，这个条件就是特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向（？），比如：

所以我们在实际应用中，都要去找正交基。但是特征向量很有可能不是正交的，那么我们就需要奇异值分解（在这里不展开）。

https://www.matongxue.com/madocs/228.html

1.5 关于特征值的计算

已知n阶矩阵A的特征值为λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nλ1,λ2,...,λn，p(x)p(x)p(x)为x的多项式，则P(A)的特征值为：

p(λ1),p(λ2),...,p(λn)p(\lambda_1),p(\lambda_2),...,p(\lambda_n)p(λ1),p(λ2),...,p(λn)

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