复习下。。。copy 线性代数及其应用

线性方程组

1. 类似

x_1 – 2x_2 = –1

-x_1 + 3x_2 = 3

存在三种情况

1. 无解 2. 有唯一解 3. 有无穷解

考虑两条平行直线，相交的直线，完全重合的直线。

解方程组

行初等变换 （倍加，对换，倍乘）

线性方程组的两个问题

1. 是否至少有一个解？

2.如果有解，是否是唯一的呢？

行化简，阶梯型矩阵，增广矩阵，主元

可以用行初等变换类似解方程组的过程，将任意一个线性方程组转换成一个阶梯型矩阵，如下

1  0  -5  1

0   1   1  4

0   0   0  0

对应

x_1 – 5 x_3 =  1

x_2 +  x_3    =  4

0   =  0

x_1 = 1 + 5x_3

x_2 = 4 – x_3

x_3是自由变量

1. 是否至少有一个解？

增广矩阵的最后列不是主元列，即没有[0 … 0 b] b!=0 这样的行

2.如果有解，是否是唯一的呢？

满足1相容的情况下，如果没有自由变量则有唯一解，如果有则有无穷个解。

向量方程

上面的解方程其实可以看成是求解的[x_1…x_n]作用到一组向量上得到最终的结果解向量。

1  x_1 + 2 x_2 =  7

-2 x_1 + 5 x_2 =  4

-5 x_1 + 6 x_2 = –3

可以看成 a_1 = [1, –2, –5]^T   a_2 = [2, 5, 6]^T   b = [7, 4, –3]^T

a_1 x_1 + a_2 x_2 = b

线性代数一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合{v_1, v_2..v_p}的线性组合的所有向量。

判断向量方程 x_1 v_1 + x_2 v_2 +… x_p v_p = b 是否有解

等价于判断 向量b 是否属于 Span{v_1… v_p}

也就等价于判断增广矩阵为 [v_1 v_2 … v_p b] 的线性方程组是否有解。

矩阵方程 Ax=b

第三个看解方程的角度就是矩阵方程的角度。即将向量的线性组合看做矩阵和向量的积。

Ax = [a1 a2 … an] x1 = x1a1 + x2a2 + … + xnan

x2

…

xn

所以线性代数问题，解线性方程组可以有三个不同角度看待

1. 矩阵方程

2. 向量方程

3. 线性方程组

下列命题等价：

A m*n的矩阵

a. R^m中每个向量b,Ax=b有解

b. R^m中每个b都是A的列的一个线性组合

c. A的各列生成R^m

d. A的每一列都有一个主元位置

（类似 A = 1 0 0

                 0 1 0

                 0 0 1

a_1 = [1 0 0]^T a_2 = [0 1 0]^T a_3 = [0 0 1]^T

a_1, a_2, a_3 各列即可生成R^3)

线性方程组的解集

1. 齐次方程类似Ax=0 全0向量即平凡解肯定是一个解，是否有其它解取决方程是否有自由变量，所以如果有非平凡解则肯定不止一个。
2. 非齐次方程Ax=b 解可以表示为 w = p + v_h p是Ax=b的一个特解，v_h是齐次方程Ax=0的任意一个解

线性无关

定义 一组向量 {v_1, … v_p}线性无关等价于

x_1 v_1 + x_2 v_2 … + x_p v_p = 0 仅有平凡解集

若存在不全为0的权c_1…c_p 使得 c_1 v_1 + … c_p v_p = 0 则称{v_1..v_p}向量组是线性相关的。

矩阵A各列线性无关， 当且仅当 Ax = 0 只有平凡解

线性相关其实表明了向量组有冗余，即至少有一个向量可以被其它向量的线性组合表示出来。。。

3  6

1  2   这个矩阵的两个列式线性相关的 *2 （*1/2)可以用其中一个向量表示另一个

对于一组向量如果线性相关那么存在非零的权c_x 对应c_x v_x，  v_x 就可以用其它向量的线性组合来表示 （把其它的移到等式右边再除以c_x即可）

线性变换(映射)

Ax=b 可以看做矩阵A是一个对象，通过乘法作用于向量x,映射成为一个新的向量b

A =  1 0 0

0 1 0

0 0 0

Ax ，比如x = [ 1 1 1 ]^T 就可以看做将R^3中的点 (1,1,1)投影到x_1,x_2坐标平面上 （1,1,0）

线性变换的矩阵

这里说明了对于每个维度的单位向量（0 0 .. 1)类似的变换其实构成了变换矩阵A。参考P71,P72.

存在性与唯一性问题

满射（值域向量都存在某从定义域过来的映射），单射（一对一映射）

A = 1   -4   8   1

0   2    -1  3

0   0    0    5

这个矩阵是满秩的，每行都有主元位置，意味着它可以完整生成 R^3 , 对于R^3中的每一个向量都存在映射过去（满射），但是由于存在一个自由变量，所以从R^4到R^3的映射不是单射，(那必须的。。。)

T:R^n –> R^m线性变换，则T是单射 当且仅当 Ax=0仅有平凡解 也就是说A各列线性无关,像上面A 3 * 4 行数3 < 列数4 (向量个数超过每个向量元素个数) 肯定线性相关了。

因为如果只有平凡解并且不是单射的话 存在X!=Y T X=b T Y=b  T ( X – Y ) = 0  则 X –Y 必然是0向量，与假设X != Y矛盾

可能是R^3->R^3满射例如

A =  1 0 0

0 1 0

0 0 1

也可能不是满射但是能确保一对一

A = 1 0

0 1

0 0

R^2 –> R^3  3*2 2*1 – > 3*1  不是满射因为只能映射到 形如(a, b, 0)  但是 Ax=0只有平凡解，向量线性无关，这种也是单射。

下面是我的一些结论，仅供参考

如果是扁长形m*n m < n 则必然线性相关非单射，但也不保证每行都有主元位置，如果都有主元则满射。

如果正方形，如果每行都有主元位置，满射，且单射，因为没有自由变量。反之不是满射也不是单射。

如果是竖长行 m > n 不可能每行都有主元位置，必然不是满射， 必然不能生成 R^m, 可能是线性无关的 则单射 反之非单射(不是满秩，阶梯矩阵有全0行，有自由变量，Ax=0有平凡解，A各列线性相关)。

是否单射 取决于是否线性无关， 是否满射取决于是否满秩。