opencv图像分析与处理（6）- 二维取样定理与二维傅里叶变换

本节为opencv数字图像处理（6）：频率域滤波的第三小节，二维取样定理与二维傅里叶变换，主要包括：二维连续/离散傅立叶变换、二维取样及二维取样定理与二维离散傅立叶变换的性质。

1. 二维连续傅里叶变换对

令f(t,z)f(t,z)f(t,z)是两个连续变量ttt和zzz的连续函数，则其二维连续傅里叶变换对由如下表达式给出：
F(μ,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(t,z)e−j2π(μt+vz)dtdzF(\mu,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t,z)e^{-j2\pi (\mu t+vz)}dtdz F(μ,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(t,z)e−j2π(μt+vz)dtdz

f(t,z)=∫−∞∞∫−∞∞F(μ,v)ej2π(μt+vz)dμdvf(t,z)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu t +vz)}d\mu dv f(t,z)=∫−∞∞∫−∞∞F(μ,v)ej2π(μt+vz)dμdv

其中，μ\muμ和vvv是频率变量，它们的域定义了连续频率域；当涉及图像时，ttt和zzz解释为连续空间变量。

如上图所示的二维函数，对应的傅立叶变换为：

其幅度由下式给出：

如下图所示，在幅度中零的位置与TTT和ZZZ的值成反比，二者越大，则幅度变得更加“收缩”。

2. 二维取样和二维取样定理

与上一节提到的一位情况类似，二维取样可用取样函数（二维冲激串建模），如下：

其中ΔT\Delta TΔT和ΔZ\Delta ZΔZ是连续函数f(t,z)f(t,z)f(t,z)沿ttt轴和zzz轴的样本间间隔，上式描述了沿着两个轴无限扩展的周期冲激的集合，如下图所示。我们可以用上式所示的取样函数乘以f(t,z)f(t,z)f(t,z)得到取样后的函数，如果由区间[−μmax,μmax][-\mu_{max},\mu_{max}][−μmax,μmax]和区间[−vmax,vmax][-v_{max},v_{max}][−vmax,vmax]建立的矩形之外的傅里叶变换是零，则函数f(t,z)f(t,z)f(t,z)称为带限函数，即：
F(μ,v)=0,∣μ∣≥μmax且∣v∣≥vmaxF(\mu,v)=0,|\mu|\geq\mu_{max}且|v|\geq v_{max} F(μ,v)=0,∣μ∣≥μmax且∣v∣≥vmax

二维取样定理表明，如果取样间隔满足：
ΔT<12μmax且ΔZ<12μmax\Delta T <\frac{1}{2\mu_{max}}且\Delta Z<\frac1{2\mu_{max}} ΔT<2μmax1且ΔZ<2μmax1
或写为关于取样率的表达即：
1ΔT>2μmax且1ΔZ>2vmax\frac1{\Delta T}>2\mu_{max}且\frac1{\Delta Z}>2v_{max} ΔT1>2μmax且ΔZ1>2vmax
则连续带限函数f(t,z)f(t,z)f(t,z)可以由其一组样本无误地恢复，也即：如果一个二维带限函数在μ\muμ和vvv两个方向上由大于该函数最高频率两倍的取样率取样获得的样本表示，则没有信息丢失。

3. 二维离散傅立叶变换及其反变换

二维离散傅里叶变换DFT可由下式说明：
F(μ,v)=Σx=0M−1Σy=0N−1f(x,y)e−j2π(μx/M+vy/N)F(\mu,v)=\Sigma_{x=0}^{M-1}\Sigma_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\mu x/M+vy/N)} F(μ,v)=Σx=0M−1Σy=0N−1f(x,y)e−j2π(μx/M+vy/N)

其中，f(x,y)f(x,y)f(x,y)是大小为M×NM\times NM×N的数字图像。同时，给出变换F(μ,v)F(\mu,v)F(μ,v)，利用傅里叶反变换IDFT可以得到f(x,y)f(x,y)f(x,y)：
f(x,y)=1MNΣx=0M−1Σy=0N−1F(μ,v)ej2π(μx/M+vy/N)f(x,y)=\frac1{MN}\Sigma_{x=0}^{M-1}\Sigma_{y=0}^{N-1}F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu x/M+vy/N)} f(x,y)=MN1Σx=0M−1Σy=0N−1F(μ,v)ej2π(μx/M+vy/N)

4. 二维离散傅里叶变换的性质

4.1 空间和频率间隔的关系

假设对连续函数f(t,z)f(t,z)f(t,z)取样生成了一幅数字图像f(x,y)f(x,y)f(x,y)，分别由在ttt和zzz方向所取的M×NM\times NM×N个样点组成，令ΔT\Delta TΔT和ΔZ\Delta ZΔZ表示样本间的间隔，则相应离散频率域变量间的间隔分别由：
Δμ=1MΔT和Δv=1NΔz\Delta \mu=\frac1{M\Delta T}和\Delta v=\frac1{N\Delta z} Δμ=MΔT1和Δv=NΔz1
给出，频率域样本间的间隔和空间样本间的间距和样本数成反比。

4.2 平移和旋转

傅立叶变换变换对满足下列平移特性：
f(x,y)ej2π(μx/M+vy/N)⇔F(μ−μ0,v−v0)f(x,y)e^{j2\pi(\mu x/M+vy/N)}\Leftrightarrow F(\mu-\mu_0,v-v_0) f(x,y)ej2π(μx/M+vy/N)⇔F(μ−μ0,v−v0)

f(x−x0,y−y0)⇔F(μ,v)e−j2π(μx/M+vy/N)f(x-x_0,y-y_0)\Leftrightarrow F(\mu,v)e^{-j2\pi(\mu x/M+vy/N)} f(x−x0,y−y0)⇔F(μ,v)e−j2π(μx/M+vy/N)

即指数项乘以f(x,y)f(x,y)f(x,y)将使DTY的原点移到点(μ0,v0)(\mu_0,v_0)(μ0,v0)，反之，用负指数乘以F(μ,v)F(\mu,v)F(μ,v)将使f(x,y)f(x,y)f(x,y)移到点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)。
使用极坐标
x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,y=r\sin\theta x=rcosθ,y=rsinθ

μ=ωcos⁡φ,v=ωsin⁡φ\mu=\omega\cos\varphi,v=\omega\sin\varphi μ=ωcosφ,v=ωsinφ

可得到下列变换对：
f(r,θ+θ0)⇔F(ω,φ+φ0)f(r,\theta+\theta_0)\Leftrightarrow F(\omega,\varphi+\varphi_0) f(r,θ+θ0)⇔F(ω,φ+φ0)

也就是说，若f(x,y)f(x,y)f(x,y)旋转θ0\theta_0θ0角度，则F(μ,v)F(\mu,v)F(μ,v)也旋转相同的角度，反之亦然。

4.3 周期性

二维傅立叶变换及其反变换在μ\muμ和vvv方向上是无限周期的，即：

4.4 共轭对称性与共轭反对称

也称为哈密特对称和反哈密特对称。当f(x,y)f(x,y)f(x,y)是实函数，则其傅立叶变换是共轭对称即F∗(μ,v)=F(−μ,−v)F^*(\mu,v)=F(-\mu,-v)F∗(μ,v)=F(−μ,−v)；当f(x,y)f(x,y)f(x,y)是虚函数，则其傅里叶变换是共轭反对称的即KaTeX parse error: Can't use function '\v' in math mode at position 10: F^*(-\mu,\̲v̲)=-F(\mu,v)。

4.5 傅里叶谱和相角

通常二维DFT是付函数，因此可用极坐标形式来表示：

其中幅度，也就是傅里叶谱（频谱）：

相角：

功率谱：

因为实函数的傅立叶变换是共轭对称的，这表明谱是关于原点偶对称的，即：

而相角关于原点奇对称：

4.6 二维卷积定理

二维循环卷积的表达式：

二维卷积定理由下式给出：

4.7 二维连傅立叶变换性质总结

下表涉及主要的DFT中的定义：

下表给出了DFT对的一些定义和性质：

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